Из орудия сделан выстрел вверх по склону горы. Угол наклона горы

Условие задачи:

Из орудия сделан выстрел вверх по склону горы. Угол наклона горы к горизонту 30°, угол наклона ствола орудия к горизонту 60°, скорость вылета снаряда 21 м/с. Найти расстояние от орудия до точки падения снаряда вдоль склона горы (\(g=9,8\) м/с2.)

Задача №1.6.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=30^\circ\), \(\beta=60^\circ\), \(v_0=21\) м/с, \(g=9,8\) м/с2, \(S-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Во всех задачах, где рассматривается движение тела вдоль какой-то наклонной плоскости, лучше вводить оси \(x\) и \(y\) вдоль и перпендикулярно этой плоскости соответственно. Подобная задача уже разбиралась на нашем сайте, она немного сложнее, поэтому если вы хотите усвоить этот прием лучше, то желательно посмотреть и ее. Рисунок, показывающий решение задачи, приведен справа.

Запишем уравнения движения снаряда в проекциях на введенные нами \(x\) и \(y\).

\[\left\{ \begin{gathered}
ox:x = {v_0}\cos (\beta – \alpha ) \cdot t – \frac{{g\sin \alpha \cdot {t^2}}}{2}\,\,\,(1) \hfill \\
oy:y = {v_0}\sin (\beta – \alpha ) \cdot t – \frac{{g\cos \alpha \cdot {t^2}}}{2}\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В момент касания холма координата \(y\) снаряда станет равной нулю, приравняем уравнение (2) к нулю.

\[y = 0 \Rightarrow {v_0}\sin (\beta  – \alpha ) \cdot t – \frac{{g\cos \alpha  \cdot {t^2}}}{2} = 0\]

\[\left[ \begin{gathered}
t = 0 \hfill \\
t = \frac{{2{v_0}\sin (\beta – \alpha )}}{{g\cos \alpha }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Первый корень соответствует моменту запуска снаряда, он нас не интересует. Второй корень подставим в уравнение (1).

\[S = {v_0}\cos (\beta  – \alpha ) \cdot t – \frac{{g\sin \alpha  \cdot {t^2}}}{2}\]

\[S = {v_0}\cos (\beta  – \alpha ) \cdot \frac{{2{v_0}\sin (\beta  – \alpha )}}{{g\cos \alpha }} – \frac{{g\sin \alpha }}{2}\frac{{4v_0^2{{\sin }^2}(\beta  – \alpha )}}{{{g^2}{{\cos }^2}\alpha }}\]

\[S = \frac{{2v_0^2\sin (\beta  – \alpha )\cos (\beta  – \alpha )}}{{g\cos \alpha }} – \frac{{2v_0^2{{\sin }^2}(\beta  – \alpha )\sin \alpha }}{{g{{\cos }^2}\alpha }}\]

Окончательная формула для решения задачи в общем виде имеет вид:

\[S = \frac{{2v_0^2\sin (\beta  – \alpha )}}{{g\cos \alpha }}\left( {\cos (\beta  – \alpha ) – \frac{{\sin (\beta  – \alpha )\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)\]

Подставим все известные в системе измерения СИ и получим ответ:

\[S = \frac{{2 \cdot {{21}^2} \cdot \sin (60^\circ  – 30^\circ )}}{{9,8 \cdot \cos 30^\circ }}\left( {\cos (60^\circ  – 30^\circ ) – \frac{{\sin (60^\circ  – 30^\circ )\sin 30^\circ }}{{\cos 30^\circ }}} \right) = 30\; м.\]

Ответ: 30 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.

Смотрите также задачи:

1.6.15 Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю
1.6.17 Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом 45° к горизонту вода
1.6.18 Какое расстояние по горизонтали до первого удара о пол

Пожалуйста, поставьте оценку
( 9 оценок, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 4
  1. Аноним

    Понятно, что то как решать задачу – дело вкуса…
    Вкус №2 (Обойдемся без поворота координат)
    X = V0 cos(b) t
    Y = Y0 + V0 sin(b) t – g t^2 / 2
    Y0 = 0
    Находим траекторию (или берем готовую из(с) учебника)
    Y = V0 sin(b) (x/(V0 cos(b))) – g/2 (x/(V0 cos(b)))^2
    Замечаем [ S – длина радиус-вектора]
    x = S cos(a); y = S sin(a)
    Подставляем…
    …преобразуем…
    S = ( tg(b) cos(a) – sin(a) )/ ( g/2 (cos(a)/(V0 cos(b)))^2 )
    …подставляем данные…
    …и получаем: S = 30 м

  2. Аноним

    sin(?—?) = sin(60?—30?) = sin30? = sin?, т.е sin(?—?)=sin?, так ведь?
    Так почему бы сразу так не написать? А позже в дроби можно будет сократить до tg?

    1. Аноним

      Так объём вычислений уменьшится вдове))

      1. Easyfizika (автор)

        sin(? – ?)=sin? только в случае, если ? = 2?, то есть это частный случай. Если в условии было бы так и сказано, тогда такое решение было бы верным.
        Но при любом другом соотношении этих углов Вы будете получать неверное решение задачи, т.е. Ваше решение не универсальное, а значит и неправильное.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: