Решение: Камень, брошенный горизонтально с вышки, через 3 с упал на землю

Условие задачи:

Камень, брошенный горизонтально с вышки, через 3 с упал на землю на расстоянии 60 м от ее основания. Чему равна скорость камня в момент приземления?

Задача №1.5.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=3\) с, \(S=60\) м, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Начнем решать задачу с конца. Для того, чтобы определить конечную скорость \(\upsilon\), спроецируем ее на оси \(x\) и \(y\), тем самым разложив ее на составляющие \(\upsilon_x\) и \(\upsilon_y\) (смотрите рисунок к задаче). Тогда искомую скорость можно найти из теоремы Пифагора:

\[\upsilon = \sqrt {\upsilon _x^2 + \upsilon _y^2}\,\,\,(1) \]

Теперь запишем уравнение скорости в проекциях на оси координат:

\[\left\{ \begin{gathered}
ox:{\upsilon _x} = {\upsilon _0}\,\,\,(2) \hfill \\
oy:{\upsilon _y} = gt\,\,\,(3) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Заметим, что горизонтальная составляющая скорости \(\upsilon_x\) не изменяется в процессе полета по величине, поскольку в направлении оси \(x\) не действует никаких сил, в отличии от вертикальной составляющей \(\upsilon_y\).

Подставим выражения (2) и (3) в (1):

\[\upsilon = \sqrt {\upsilon _0^2 + {g^2}{t^2}}\,\,\,(4) \]

Значит нам осталось найти только начальную скорость броска \(\upsilon_0\), для чего запишем уравнения движения.

\[\left\{ \begin{gathered}
ox:x = {\upsilon _0}t\,\,\,\,\,\,(5) \hfill \\
oy:y = \frac{{g{t^2}}}{2}\,\,\,(6) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как нам известно на какое расстояние улетел камень, то используя формулу (5) имеем право записать:

\[S = {\upsilon _0}t \Rightarrow {\upsilon _0} = \frac{S}{t}\]

Полученное подставим в формулу (4), тем самым получив окончательную формулу для вычисления ответа.

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{{S^2}}}{{{t^2}}} + {g^2}{t^2}} \]

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{{{60}^2}}}{{{3^2}}} + {{10}^2}{3^2}} = 36,06\; м/с \approx 130\; км/ч \]