Свободно падающее тело прошло последние 30 м за 0,5 с. С какой высоты

Условие задачи:

Свободно падающее тело прошло последние 30 м за 0,5 с. С какой высоты оно падало?

Задача №1.4.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=30\) м, \(t_1=0,5\) с, \(H-?\)

Решение задачи:

Пусть время \(t\) – полное время падения тела. Тогда путь 30 м, пройденный телом за последние \(t_1=0,5\) секунды можно расписать по формуле, что наглядно видно на рисунке справа.

\[S = S\left( t \right) – S\left( {t – {t_1}} \right)\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(S\left( t \right)\) – путь за все время падения, по сути и есть искомая высота \(H\), \(S\left( {t – {t_1}} \right)\) – путь за время \(\left( {t – {t_1}} \right)\). Так как движение свободнопадающего тела является равноускоренным без начальной скорости, то легко найти обозначенные ранее величины \(S\left( t \right)\) и \(S\left( {t – {t_1}} \right)\).

\[S\left( t \right) = \frac{{g{t^2}}}{2}\;\;\;\;(2)\]

\[S\left( {t – {t_1}} \right) = \frac{{g{{\left( {t – {t_1}} \right)}^2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Подставим формулы (2) и (3) в (1).

\[S = \frac{{g{t^2}}}{2} – \frac{{g{{\left( {t – {t_1}} \right)}^2}}}{2}\]

Распишем квадрат разности, тогда:

\[S = \frac{{g{t^2}}}{2} – \frac{{g\left( {{t^2} – 2t{t_1} + t_1^2} \right)}}{2}\]

Теперь раскрываем скобки и делим почленно:

\[S = \frac{{g{t^2}}}{2} – \frac{{g{t^2}}}{2} + gt{t_1} – \frac{{gt_1^2}}{2}\]

В итоге получим следующее выражение, откуда выразим время падения \(t\).

\[gt{t_1} – \frac{{gt_1^2}}{2} – S = 0\]

\[t = \frac{S}{{g{t_1}}} + \frac{{{t_1}}}{2}\]

Чтобы найти ответ к поставленному в задаче вопросу, воспользуемся формулой (2), так как \(H=S\left( t \right)\).

\[H = S\left( t \right)\]

\[H = \frac{g}{2}{\left( {\frac{S}{{g{t_1}}} + \frac{{{t_1}}}{2}} \right)^2}\]

Подставим численно исходные данные и вычислим ответ.

\[H = \frac{{10}}{2}{\left( {\frac{{30}}{{10 \cdot 0,5}} + \frac{{0,5}}{2}} \right)^2} = 195,31\; м \]

Ответ: 195,31 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

1.4.26 С какой высоты падало тело, если за последние 2 с прошло путь 60 м?
1.4.28 Тело падает с высоты 10 м. За какое время тело прошло последний метр пути?
1.4.29 Тело падает с высоты 4,9 м. Какова средняя скорость движения тела?