Условие задачи:
Тело свободно падает с высоты 5 м. Найти среднюю скорость тела на нижней трети пути.
Задача №1.4.46 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(H=5\) м, \(S_1=\frac{1}{3}H\), \(\upsilon_{ср}-?\)
Решение задачи:
Чтобы найти среднюю скорость тела на последней трети пути, нужно этот путь \(\frac{1}{3}H\) разделить на время \(t_1\), которое затратит тело на прохождение этого пути.
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{H}{{3{t_1}}}\]
Пусть тело проходит всю высоту \(H\) за \(t\) секунд. Учитывая, что крайнюю треть тело прошло за \(t_1\) секунд, то на предыдущие две трети \(\frac{2}{3}H\) оно должно затратить \(\left( {t – {t_1}} \right)\) секунд. Поскольку движение тела происходит в поле тяжести Земли, причем без начальной скорости, то справедливо записать:
\[\left\{ \begin{gathered}
H = \frac{{g{t^2}}}{2} \hfill \\
\frac{2}{3}H = \frac{{g{{\left( {t – {t_1}} \right)}^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее выражение на нижнее, тогда:
\[{\left( {\frac{t}{{t – {t_1}}}} \right)^2} = \frac{3}{2}\]
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
\[\left[ \begin{gathered}
\frac{t}{{t – {t_1}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\
\frac{t}{{t – {t_1}}} = – \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Нижнее равенство в совокупности отбросим из рассмотрения, поскольку отношение положительных величин заведомо положительное, а в числителе и знаменателе фигурирует время – оно не может быть со знаком “минус”.
\[\frac{t}{{t – {t_1}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt 2 t = \sqrt 3 t – \sqrt 3 {t_1}\]
\[{t_1} = t\frac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\]
Полное время полета \(t\) найдем из первого выражения системы.
\[H = \frac{{g{t^2}}}{2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]
В итоге, время \(t_1\), за которое тело пройдет последнюю треть пути, можно найти по следующей формуле:
\[{t_1} = \frac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]
С учетом этого, конечная формула для вычисления средней скорости будет выглядеть так:
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{H \cdot \sqrt 3 }}{{3\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)}}\sqrt {\frac{g}{{2H}}} \]
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{\sqrt {gH} }}{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)}}\]
Подставим известные данные, рассчитаем ответ.
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{\sqrt {10 \cdot 5} }}{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)}} = 9,08\; м/с = 32,7\; км/ч \]
Ответ: 32,7 км/ч.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
1.4.45 Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м. Определить среднюю скорость
1.4.47 Упругий шар, падая с высоты 80 м, после удара о Землю, отскакивает вертикально
1.4.48 Цепочка шаров висит над поверхностью стола: первый шар – на высоте 1 м, второй
Почему так сложно решается задача?
Все ГОРАЗДО ПРОЩЕ…
1) Определяем скорость на высоте 2/3 Н
2) Определяем скорость у поверхности земли
3) Определяем среднюю скорость
V_ср = ( sqrt(g 2/3 H) + sqrt(g H) ) / 2
V_cр = 9.082 м/c