Решение: Цепочка шаров висит над поверхностью стола: первый шар - на высоте 1 м, второй

Условие задачи:

Цепочка шаров висит над поверхностью стола: первый шар – на высоте 1 м, второй – на высоте 4 м, третий – на высоте 9 м. Цепочка обрывается, и шары последовательно ударяются об стол. Определите промежутки времени между ударами.

Задача №1.4.48 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h_1=1\) м, \(h_2=4\) м, \(h_3=9\) м, \(\tau-?\)

Решение задачи:

При рассмотрении задачи шары принимаются материальными точками.

Поскольку между шарами присутствует цепочка, то значит между ними есть кинематическая связь. Из-за этой связи у всех шаров должна быть одинаковая скорость, в противном случае цепочка бы разорвалась и между шарами. Но в данном случае эта связь не усложняет задачу, поскольку тела, итак, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости, поскольку падают без начальной скорости с одинаковым ускорением \(g\). Значит можно считать, что цепочка между шарами отсутствует. Тогда легко определить через какое время шары упадут на стол. Применим формулу для трех шаров:

\[{h_1} = \frac{{gt_1^2}}{2} \Rightarrow {t_1} = \sqrt {\frac{{2{h_1}}}{g}} \]

\[{h_2} = \frac{{gt_2^2}}{2} \Rightarrow {t_2} = \sqrt {\frac{{2{h_2}}}{g}} \]

\[{h_3} = \frac{{gt_3^2}}{2} \Rightarrow {t_3} = \sqrt {\frac{{2{h_3}}}{g}} \]

Промежуток времени между ударом первого и второго шара равен:

\[{\tau _{12}} = {t_2} – {t_1}\]

\[{\tau _{12}} = \sqrt {\frac{{2{h_2}}}{g}} – \sqrt {\frac{{2{h_1}}}{g}} \]

\[{\tau _{12}} = \sqrt {\frac{2}{g}} \left( {\sqrt {{h_2}} – \sqrt {{h_1}} } \right)\]

Сосчитаем ответ численно:

\[{\tau _{12}} = \sqrt {\frac{2}{{10}}} \left( {\sqrt 4 – \sqrt 1 } \right) = 0,447\; с \approx 450\; мс \]

Аналогично найдем время между ударом второго и третьего шара о стол:

\[{\tau _{23}} = {t_3} – {t_2}\]

\[{\tau _{23}} = \sqrt {\frac{{2{h_3}}}{g}} – \sqrt {\frac{{2{h_2}}}{g}} \]