Решение: Как изменится период вертикальных колебаний груза, подвешенного на двух

Условие задачи:

Как изменится период вертикальных колебаний груза, подвешенного на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?

Задача №9.3.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\frac{T_2}{T_1}-?\)

Решение задачи:

Известно, что жесткость \(k_1\) двух последовательно соединенных пружин жесткостью \(k_0\) можно определить по формуле (вывод этой и последующей формулы мы оставим за рамками решения этой задачи):

\[\frac{1}{{{k_1}}} = \frac{1}{{{k_0}}} + \frac{1}{{{k_0}}}\]

\[\frac{1}{{{k_1}}} = \frac{2}{{{k_0}}}\]

\[{k_1} = \frac{{{k_0}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Жесткость \(k_2\) двух параллельно соединенных пружин жесткостью \(k_0\) определяют по формуле:

\[{k_2} = {k_0} + {k_0}\]

\[{k_2} = 2{k_0}\;\;\;\;(2)\]

Запишем формулы для определения периодов колебания в двух случаях \(T_1\) и \(T_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_1}}}} \hfill \\
{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_2}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая (1) и (2), получим:

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{{2m}}{{{k_0}}}} \hfill \\
{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{2{k_0}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда искомое отношение \(\frac{T_2}{T_1}\) равно:

\[\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{1}{2}\]