Решение: Математический маятник длиной 1 м совершает гармонические колебания

Условие задачи:

Математический маятник длиной 1 м совершает гармонические колебания с амплитудой 6 см. Определить скорость маятника при прохождении им положения равновесия.

Задача №9.2.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=1\) м, \(A=6\) см, \(\upsilon_{\max}-?\)

Решение задачи:

Известно, что при прохождении маятником положения равновесия его скорость будет максимальной, поэтому в задаче нам нужно будет найти именно максимальную скорость \(\upsilon_{\max}\).

Пусть колебания математического маятника происходят по закону синуса, тогда уравнения этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) – амплитуда колебаний, \(\omega\) – циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение скорости маятника при этих колебаниях, нужно взять производную от уравнения колебаний:

\[x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

То есть имеем:

\[\upsilon = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Очевидно, что максимальную скорость в таком случае можно найти так (она имеет место, когда синус равен -1 или 1):

\[{\upsilon _{\max }} = A\omega \;\;\;\;(1)\]

Циклическую частоту колебаний математического маятника \(\omega\) можно найти по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(g\) – ускорение свободного падения (можно принимать \(g=10\) м/с²), \(l\) – длина нити математического маятника.