Решение: Найти емкость конденсатора колебательного контура, если при индуктивности

Условие задачи:

Найти емкость конденсатора колебательного контура, если при индуктивности 50 мкГн контур настроен на длину волны электромагнитных колебаний 300 м.

Задача №9.13.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=50\) мкГн, \(\lambda=300\) м, \(C-?\)

Решение задачи:

Частоту колебаний колебательного контура (она равна частоте излучаемых электромагнитных волн) можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – электроемкость конденсатора.

Возведем обе части (1) в квадрат, тогда имеем:

\[{\nu ^2} = \frac{1}{{4{\pi ^2}LC}}\]

Откуда искомая емкость конденсатора \(C\) равна:

\[C = \frac{1}{{4{\pi ^2}{\nu ^2}L}}\;\;\;\;(2)\]

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), частотой их колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда частота колебаний \(\nu\) равна:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\]

Это выражение подставим в ранее полученную формулу (2):

\[C = \frac{{{\lambda ^2}}}{{4{\pi ^2}{c^2}L}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[C = \frac{{{{300}^2}}}{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2} \cdot 50 \cdot {{10}^{ – 6}}}} = 5,1 \cdot {10^{ – 10}}\;Ф = 0,51\;нФ\]