Решение: Небольшой металлический шарик массой 10 г, подвешенный на нити длиной 0,1 м

Условие задачи:

Небольшой металлический шарик массой 10 г, подвешенный на нити длиной 0,1 м, совершает колебания над бесконечной равномерно заряженной непроводящей горизонтальной плоскостью с плотностью заряда 1 мкКл/м². Определить период колебания маятника при условии, что на шарике находится заряд 0,885 мкКл.

Задача №9.2.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$m=10$ г, $l=0,1$ м, $\sigma=1$ мкКл/м², $q=0,885$ мкКл, $T-?$

Решение задачи:

Период колебаний математического маятника $T$ в данном случае следует искать по такой формуле:

$T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{g — a}}} \;\;\;\;(1)$

Здесь $l$ — длина маятника, $g$ — ускорение свободного падения (для расчетов можно принимать $g=10$ м/с²), $a$ — дополнительное вертикальное ускорение, создаваемое электрическим полем. Его можно найти по такой формуле (второй закон Ньютона):

$Eq = ma$

$a = \frac{{Eq}}{m}\;\;\;\;(2)$

Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости $E$ будем определять так:

$E = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}\;\;\;\;(3)$

В этой формуле $\varepsilon _0$ — электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Ф/м.

Подставим выражение (3) в формулу (2), тогда:

$a = \frac{{\sigma q}}{{2{\varepsilon _0}m}}$

А уже полученное выражение подставим в формулу (1):

$T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{g — \frac{{\sigma q}}{{2{\varepsilon _0}m}}}}}$

$T = 2\pi \sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}ml}}{{2{\varepsilon _0}mg — \sigma q}}}$

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

$T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot 0,01 \cdot 0,1}}{{2 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot 0,01 \cdot 10 — {{10}^{ — 6}} \cdot 0,885 \cdot {{10}^{ — 6}}}}} = 0,9\;с$