Решение: Небольшой металлический шарик массой 10 г, подвешенный на нити длиной 0,1 м

Условие задачи:

Небольшой металлический шарик массой 10 г, подвешенный на нити длиной 0,1 м, совершает колебания над бесконечной равномерно заряженной непроводящей горизонтальной плоскостью с плотностью заряда 1 мкКл/м². Определить период колебания маятника при условии, что на шарике находится заряд 0,885 мкКл.

Задача №9.2.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=10\) г, \(l=0,1\) м, \(\sigma=1\) мкКл/м², \(q=0,885\) мкКл, \(T-?\)

Решение задачи:

Период колебаний математического маятника \(T\) в данном случае следует искать по такой формуле:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{g — a}}} \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(l\) — длина маятника, \(g\) — ускорение свободного падения (для расчетов можно принимать \(g=10\) м/с²), \(a\) — дополнительное вертикальное ускорение, создаваемое электрическим полем. Его можно найти по такой формуле (второй закон Ньютона):

\[Eq = ma\]

\[a = \frac{{Eq}}{m}\;\;\;\;(2)\]

Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости \(E\) будем определять так:

\[E = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}\;\;\;\;(3)\]

В этой формуле \(\varepsilon _0\) — электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Ф/м.

Подставим выражение (3) в формулу (2), тогда:

\[a = \frac{{\sigma q}}{{2{\varepsilon _0}m}}\]

А уже полученное выражение подставим в формулу (1):

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{g — \frac{{\sigma q}}{{2{\varepsilon _0}m}}}}} \]

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}ml}}{{2{\varepsilon _0}mg — \sigma q}}} \]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot 0,01 \cdot 0,1}}{{2 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot 0,01 \cdot 10 — {{10}^{ — 6}} \cdot 0,885 \cdot {{10}^{ — 6}}}}} = 0,9\;с\]