Решение: Невесомая пружина жесткостью 100 Н/м подвешена за один из концов так

Условие задачи:

Невесомая пружина жесткостью 100 Н/м подвешена за один из концов так, что её ось вертикальна. К одному концу прикрепляют груз массой 250 г. Определите скорость, с которой груз проходит положение равновесия. В момент прикрепления груза натяжения пружины не было.

Задача №9.3.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(k=100\) Н/м, \(m=250\) г, \(\upsilon_{\max}-?\)

Решение задачи:

Известно, что при колебаниях пружинного маятника груз проходит положение равновесия с максимальной скоростью \(\upsilon_{\max}\). Известно, что эту максимальную скорость можно найти по формуле:

\[{\upsilon _{\max }} = A\omega \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(A\) – амплитуда колебаний, \(\omega\) – циклическая частота колебаний.

Циклическую частоту колебаний пружинного маятника \(\omega\) определяют по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(k\) – это жесткость пружины.

Амплитуду колебаний найдем из следующих соображений. В положении равновесия пружина растянута на некоторую величину \(x_0\), и груз колеблется на величину “плюс-минус” амплитуды от положения равновесия. Также известно, что в крайних положениях ускорение груза будет одинаковым и равным \(a_{\max}\). Запишем второй закон Ньютона для крайних положений колебания пружинного маятника:

\[\left\{ \begin{gathered}
k({x_0} – A) + mg = m{a_{\max }} \hfill \\
k\left( {{x_0} + A} \right) – mg = m{a_{\max }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из второго уравнения отнимем первое, тогда:

\[2kA – 2mg = 0\]

\[mg = kA\]

\[A = \frac{{mg}}{k}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1):

\[{\upsilon _{\max }} = \frac{{mg}}{k}\sqrt {\frac{k}{m}} \]

\[{\upsilon _{\max }} = g\sqrt {\frac{m}{k}} \]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[{\upsilon _{\max }} = 10 \cdot \sqrt {\frac{{0,25}}{{100}}} = 0,5\;м/с = 50\;см/с\]