Решение: Определите длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных

Условие задачи:

Определите длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных колебания меньше, чем маятник длиной 60 см.

Задача №9.2.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=10\) с, \(\Delta N=4\), \(l_2=60\) см, \(l_1-?\)

Решение задачи:

Для начала запишем две формулы, с помощью которых мы и решим эту задачу.

Период колебаний \(T\) можно определять по формуле:

\[T = \frac{t}{N}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(t\) — время колебаний, \(N\) — число полных колебаний, которое было совершено за время \(t\).

Также период колебаний математического маятника легко найти по формуле Гюйгенса:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(l\) — длина маятника, \(g\) — ускорение свободного падения.

Приравняв (1) и (2), мы имеем равенство:

\[\frac{t}{N} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \;\;\;\;(3)\]

Пусть первый маятник совершит \(N\) колебаний, тогда понятно, что второй маятник совершит \(N + \Delta N\) колебаний. Для второго маятника равенство (3) примет вид:

\[\frac{t}{{N + \Delta N}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}} \]

Из этого равенства выразим число колебаний первого маятника \(N\):

\[N + \Delta N = \frac{t}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{{l_2}}}} \]

\[N = \frac{t}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{{l_2}}}} — \Delta N\]

Не будем решать эту задачу в общем виде (решение получится очень громоздким), поэтому сразу посчитаем значение \(N\):

\[N = \frac{{10}}{{2 \cdot 3,14}}\sqrt {\frac{{10}}{{0,6}}} — 4 = 2,5\]

Теперь запишем равенство (3) для первого маятника, но сразу возведем обе части этого уравнения в квадрат:

\[\frac{{{t^2}}}{{{N^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}{l_1}}}{g}\]

Откуда длина первого маятника \(l_1\) равна:

\[{l_1} = \frac{{g{t^2}}}{{4{\pi ^2}{N^2}}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[{l_1} = \frac{{10 \cdot {{10}^2}}}{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{2,5}^2}}} = 4\;м\]