Решение: При изменении емкости конденсатора на 100 пФ резонансная частота

Условие задачи:

При изменении емкости конденсатора на 100 пФ резонансная частота колебательного контура увеличилась от 0,2 до 0,25 МГц. Какой индуктивностью обладает контур?

Задача №9.12.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Delta C = 100\) пФ, \(\nu_1=0,2\) МГц, \(\nu_2=0,25\) МГц, \(L-?\)

Решение задачи:

Резонансная частота равна собственной частоте колебаний этого колебательного контура, поэтому её можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – электроемкость конденсатора.

Из формулы (1) мы видим, что зависимость между электроемкостью контура и резонансной частотой контура обратно пропорциональная. Учитывая это, запишем две формулы для определения частот \(\nu_1\) и \(\nu_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _1} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} \;\;\;\;(2)\hfill \\
{\nu _2} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {L\left( {C – \Delta C} \right)} }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Возведем в квадрат обе части (2), тогда:

\[\nu _1^2 = \frac{1}{{4{\pi ^2}LC}}\]

Откуда индуктивность контура \(L\) можно будет определить по следующей формуле:

\[L = \frac{1}{{4{\pi ^2}\nu _1^2C}}\;\;\;\;(3)\]

Также разделим верхнее равенство системы на нижнее, тогда мы получим:

\[\frac{{{\nu _1}}}{{{\nu _2}}} = \sqrt {\frac{{C – \Delta C}}{C}} \]

Возведем в квадрат обе части полученного равенства, тогда:

\[\frac{{\nu _1^2}}{{\nu _2^2}} = \frac{{C – \Delta C}}{C}\]

Перемножим “крест-накрест”, а потом раскроем скобки в левой части:

\[\nu _2^2\left( {C – \Delta C} \right) = \nu _1^2C\]

\[\nu _2^2C – \nu _2^2\Delta C = \nu _1^2C\]

В левую часть перенесем все слагаемые с множителем \(C\), остальное перенесем в правую сторону:

\[\nu _2^2C – \nu _1^2C = \nu _2^2\Delta C\]

\[C\left( {\nu _2^2 – \nu _1^2} \right) = \nu _2^2\Delta C\]

Отсюда выразим начальную емкость \(C\):

\[C = \frac{{\nu _2^2\Delta C}}{{\nu _2^2 – \nu _1^2}}\]

Это выражение нам нужно подставить в формулу (3), так мы получим решение задачи в общем виде:

\[L = \frac{{\nu _2^2 – \nu _1^2}}{{4{\pi ^2}\nu _1^2\nu _2^2\Delta C}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[L = \frac{{{{0,25}^2} \cdot {{10}^{12}} – {{0,2}^2} \cdot {{10}^{12}}}}{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{0,2}^2} \cdot {{10}^{12}} \cdot {{0,25}^2} \cdot {{10}^{12}} \cdot 100 \cdot {{10}^{ – 12}}}} = 2,3 \cdot {10^{ – 3}}\;Гн = 2,3\;мГн\]