Решение: Во сколько раз изменится частота колебаний в колебательном контуре, при увеличении

Условие задачи:

Во сколько раз изменится частота колебаний в колебательном контуре, при увеличении расстояния между пластинами конденсатора вдвое?

Задача №9.7.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=2d_0\), \(\frac{\nu}{\nu_0}-?\)

Решение задачи:

Частоту свободных колебаний в колебательном контуре можно определить по следующей формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора определяют по такой формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость вещества, находящегося между пластинами, \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Ф/м, \(S\) — площадь пластин конденсатора, \(d\) — расстояние между пластинами.

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[\nu = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{d}{{L\varepsilon {\varepsilon _0}S}}}\;\;\;\;(3)\]

Запишем формулу (3) для определения частот колебаний \(\nu_0\) (до увеличения расстояния между пластинами конденсатора) и \(\nu\) (после увеличения расстояния между пластинами конденсатора).

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _0} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{{d_0}}}{{L\varepsilon {\varepsilon _0}S}}} \hfill \\
\nu = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{d}{{L\varepsilon {\varepsilon _0}S}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее:

\[\frac{\nu }{{{\nu _0}}} = \sqrt {\frac{d}{{{d_0}}}} \]

По условию задачи расстояние между пластинами конденсатора увеличивают вдвое, то есть \(d=2d_0\), поэтому:

\[\frac{\nu }{{{\nu _0}}} = \sqrt {\frac{{2{d_0}}}{{{d_0}}}} \]

\[\frac{\nu }{{{\nu _0}}} = 1,41\]