Решение: Во сколько раз время прохождения колеблющейся точки первой половины амплитуды

Условие задачи:

Во сколько раз время прохождения колеблющейся точки первой половины амплитуды больше времени прохождения второй половины при движении её из положения равновесия по синусоидальному закону?

Задача №9.2.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(x_1=\frac{A}{2}\), \(x_2=A\), \(\frac{t_1}{t_2}-?\)

Решение задачи:

Так как по условию колебания точки происходят по синусоидальному закону с нулевой начальной фазой, тогда уравнения этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти время \(t_1\), за которое точка пройдет первую половины амплитуды, нужно решить уравнение (1) для условия \(x=\frac{A}{2}\), то есть:

\[\frac{A}{2} = A\sin \left( {\omega t_1} \right)\]

\[\sin \left( {\omega t_1} \right) = \frac{1}{2}\]

\[\omega {t_1} = \frac{\pi }{6}\]

\[{t_1} = \frac{\pi }{{6\omega }}\]

Отлично! Теперь, чтобы найти время \(t_2\), за которое точка пройдет вторую половины амплитуды, сначала нужно решить уравнение (1) для условия \(x=A\):

\[A = A\sin \left( {\omega t_3} \right)\]

\[\sin \left( {\omega t_3} \right) = 1\]

\[\omega t_3 = \frac{\pi }{2}\]

\[{t_3} = \frac{\pi }{{2\omega }}\]

Так вот время \(t_2\) равно разности времени \(t_3\), за которое точка пройдет амплитуду, и времени \(t_1\), за которое точка пройдет первую половину амплитуду.

\[{t_2} = {t_3} — {t_1}\]

\[{t_2} = \frac{\pi }{{2\omega }} — \frac{\pi }{{6\omega }}\]

\[{t_2} = \frac{\pi }{{3\omega }}\]

Тогда искомое отношение \(\frac{t_1}{t_2}\) равно:

\[\frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = \frac{{\pi \cdot 3\omega }}{{6\omega \cdot \pi }} = 0,5\]

При получении такого ответа понятно, что вопрос задачи звучит некорректно, так как время прохождения колеблющейся точки первой половины амплитуды \(t_1\) меньше времени прохождения второй половины амплитуды \(t_2\).