Решение: Колебательный контур создает в воздухе электромагнитные волны длиной 150 м

Условие задачи:

Колебательный контур создает в воздухе электромагнитные волны длиной 150 м. Какая емкость включена в контур, если индуктивность контура 0,25 мГн ? Активным сопротивлением контура пренебречь.

Задача №9.13.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda=150\) м, \(L=0,25\) мГн, \(C-?\)

Решение задачи:

Частоту колебаний колебательного контура (она равна частоте излучаемых электромагнитных волн) можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Возведем обе части (1) в квадрат, тогда имеем:

\[{\nu ^2} = \frac{1}{{4{\pi ^2}LC}}\]

Откуда искомая емкость конденсатора \(C\) равна:

\[C = \frac{1}{{4{\pi ^2}{\nu ^2}L}}\;\;\;\;(2)\]

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), частотой их колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда частота колебаний \(\nu\) равна:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\]

Это выражение подставим в ранее полученную формулу (2):

\[C = \frac{{{\lambda ^2}}}{{4{\pi ^2}{c^2}L}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[C = \frac{{{{150}^2}}}{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2} \cdot 0,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}} = 2,54 \cdot {10^{ — 11}}\;Ф = 25,4\;пФ\]