Решение: Конденсаторы электроемкостью 1 и 2 мкФ заряжены до разности потенциалов 20 и 50 В

Условие задачи:

Конденсаторы электроемкостью 1 и 2 мкФ заряжены до разности потенциалов 20 и 50 В, соответственно. После зарядки конденсаторы соединены одноименными полюсами. Найти напряжение на этой батарее.

Задача №6.4.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=1\) мкФ, \(C_2=2\) мкФ, \(U_1=20\) В, \(U_2=50\) В, \(U-?\)

Решение задачи:

После того, как конденсаторы соединят одноименными полюсами, произойдет перераспределение зарядов, и напряжение на их обкладках станет одинаковым и равным искомому \(U\). Пусть \(q_{01}\) и \(q_{02}\) — начальные заряды первого и второго конденсаторов соответственно, а \(q_1\) и \(q_2\) — конечные заряды. Запишем закон сохранения зарядов и две формулы для нахождения напряжения \(U\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{q_{01}} + {q_{02}} = {q_1} + {q_2} \;\;\;\;(1)\hfill \\
U = \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \;\;\;\;(2)\hfill \\
U = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из равенств (2) и (3) этой системы получим:

\[\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}}\]

\[{q_2} = {q_1}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\;\;\;\;(4)\]

Начальные заряды первого и второго конденсаторов \(q_{01}\) и \(q_{02}\) можно найти через начальные напряжения и электроемкости конденсаторов по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{q_{01}} = {C_1}{U_1} \;\;\;\;(5)\hfill \\
{q_{02}} = {C_2}{U_2} \;\;\;\;(6)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим (4), (5) и (6) в (1), тогда:

\[{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2} = {q_1} + {q_1}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\]

Приведем правую часть этого равенства под общий знаменатель:

\[{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2} = {q_1}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{{{C_1}}}\]

Выразим конечный заряд первого конденсатора \(q_1\):

\[{q_1} = \frac{{\left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} \right){C_1}}}{{{C_1} + {C_2}}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2) и так мы получим решение задачи в общем виде:

\[U = \frac{{{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}}}{{{C_1} + {C_2}}}\]

Произведем расчеты:

\[U = \frac{{1 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 20 + 2 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 50}}{{1 \cdot {{10}^{ — 6}} + 2 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 40\;В\]