Решение: Космический корабль на скорости 10 км/с попадает в неподвижное облако

Условие задачи:

Космический корабль на скорости 10 км/с попадает в неподвижное облако микрометеоритов с плотностью вещества 20 мг/м³. На сколько должна возрасти сила тяги двигателя, чтобы скорость корабля не изменилась, если его лобовое поперечное сечение 50 м². Удар микрометеоритов об обшивку корабля считать неупругим.

Задача №2.10.33 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon=10\) км/с, \(\rho=20\) мг/м³, \(S=50\) м², \(F-?\)

Решение задачи:

Если скорость корабля при неупругом ударе с микрометеоритами не будет изменяться, значит сила тяги двигателя возросла на величину \(F\), которую можно определить из второго закона Ньютона, записанного в общем виде:

\[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(\Delta p\) — это изменение импульса микрометеоритов вследствие удара об обшивку корабля, которая очевидно равна:

\[\Delta p = m\upsilon \;\;\;\;(2)\]

Нам нужно определить массу микрометеоритов \(m\), с которыми сталкивается в единицу времени \(\Delta t\) корабль. Эту массу очень легко определить через плотность \(\rho\) по такой формуле:

\[m = \rho \Delta V\;\;\;\;(3)\]

Тут \(\Delta V\) — это тот объем пространства с метеоритами, который преодолевает корабль за время \(\Delta t\). Скорость корабля равна \(\upsilon\), а площадь лобового сечения \(S\), поэтому вполне очевидно, что:

\[\Delta V = S\upsilon \Delta t\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), далее полученное в (2), а полученное после этого в (1):

\[F = \rho S{\upsilon ^2}\]

Задача решена в общем виде. Переведем плотность облака и скорость корабля в систему СИ, а уже потом вычислим ответ:

\[20\; мг/м^3 = \frac{{20}}{{{{10}^3}}}\; г/м^3 = \frac{{20}}{{{{10}^6}}}\; кг/м^3 = 2 \cdot {10^{ — 5}}\; кг/м^3\]

\[10\; км/с = 10 \cdot {10^3}\; м/с = {10^4}\; м/с\]

\[F = 2 \cdot {10^{ — 5}} \cdot 50 \cdot {10^8} = {10^5}\; Н = 0,1\; МН\]