Решение: Два параллельных замкнутых на одном конце провода, расстояние между которыми 50 см

Условие задачи:

Два параллельных замкнутых на одном конце провода, расстояние между которыми 50 см, находятся в магнитном поле с индукцией 5 мТл. Плоскость, в которой расположены провода, перпендикулярна полю. По проводам под действием силы 0,1 мН с постоянной скоростью 10 м/с скользит металлический мостик. Найти сопротивление мостика, пренебрегая сопротивлением проводов и силой трения.

Задача №8.4.65 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=50\) см, \(B=5\) мТл, \(F=0,1\) мН, \(\upsilon=10\) м/с, \(R-?\)

Решение задачи:

Будем считать, что провода, по которым скользит мостик, расположены горизонтально (хотя они могут быть расположены и вертикально, тогда в решении Вам необходимо ещё учесть силу тяжести). Вид сверху на всю конструкцию показан на рисунке. Условно примем магнитное поле, направленное к нам.

Вполне понятно, что мостик в начале будет скользить ускоренно под действием силы \(F\). Поскольку мостик находится в вертикальном магнитном поле, значит в нем будет возникать ЭДС индукции \(\rm E_i\), равная:

\[{{\rm E}_i} = B\upsilon l\]

Из-за возникающей ЭДС индукции \(\rm E_i\) в цепи, состоящей из проводов и мостика, будет течь ток, который можно определить, используя закон Ома. Направление тока — по часовой стрелке (смотрите рисунок к решению) — чтобы это доказать, нужно выделить в мостике положительный заряд и узнать направление действующей на него силы Лоренца. Направление тока совпадает с направлением силы Лоренца, действующей на положительный заряд.

\[I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R}\]

То есть имеем:

\[I = \frac{{B\upsilon l}}{R}\;\;\;\;(1)\]

Из-за того, что в мостике потечет ток, на неё станет действовать сила Ампера \(F_А\), причем она будет направлена вверх (на рисунке) согласно правилу левой руки. Её значение можно найти по формуле:

\[{F_А} = IBl\]

Учитывая (1), имеем:

\[{F_А} = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Интересно, что начальное ускоренное движение мостика под действием силы \(F\) быстро сменится на равномерное из-за дополнительного действия силы Ампера \(F_А\), поскольку чем быстрее движется мостик (т.е. чем больше ЭДС индукции), тем выше индукционный ток в цепи, и тем выше сила Ампера \(F_А\), тормозящая движение мостика. Для равномерного движения мостика применим первый закон Ньютона:

\[{F_А} = F\]

Принимая во внимание (2), получим:

\[\frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R} = F\]

Откуда сопротивление мостика \(R\) равно:

\[R = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{{F}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[R = \frac{{{{\left( {5 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2} \cdot 10 \cdot {{0,5}^2}}}{{0,1 \cdot {{10}^{ — 3}}}} = 0,625\;Ом = 625\;мОм\]