Решение: Квадратная рамка со стороной 20 см расположена в магнитном поле так

Условие задачи:

Квадратная рамка со стороной 20 см расположена в магнитном поле так, что её плоскость образует угол 30° с направлением поля. Индукция поля изменяется с течением времени по закону \(B = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right)\), где \(B_0=0,2\) Тл, \(\omega=3141\) рад/мин. Определить ЭДС индукции в рамке в момент времени 4 с.

Задача №8.4.68 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=20\) см, \(\beta=30^\circ\), \(B = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right)\), \(B_0=0,2\) Тл, \(\omega=3141\) рад/мин, \(t=4\) c, \(\rm E_i-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(B\) – индукция магнитного поля, \(S\) – площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) – угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Данный в условии угол \(\beta\) связан с углом \(\alpha\) по простой формуле:

\[\alpha = 90^\circ – \beta \]

Если сторона квадратной рамки равна \(a\), то её площадь \(S\) найдем по формуле:

\[S = {a^2}\]

Учитывая вышенаписанное и то, что магнитное поле изменяется по закону \(B = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right)\), формула (1) примет вид:

\[\Phi = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right) {a^2} \cos \left( {90^\circ – \beta } \right)\]

\[\Phi = {B_0} {a^2} \sin \beta \cos \left( {\omega t} \right)\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

\[{\rm E_i} = – \Phi ^\prime \left( t \right)\]

Тогда:

\[{{\rm E}_i} = – {\left( {{B_0} {a^2} \sin \beta \cos \left( {\omega t} \right)} \right)^\prime }\]

\[{{\rm E}_i} = {B_0} {a^2} \omega \sin \beta \sin \left( {\omega t} \right)\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ (не забывайте переводить данные задачи в систему СИ; если Вы будете считать также, как и мы ниже, то представление углов в калькуляторе нужно перевести в RAD):

\[{{\rm E}_i} = 0,2 \cdot {0,2^2} \cdot \frac{{3141}}{{60}} \cdot \sin \frac{\pi }{6} \cdot \sin \left( {\frac{{3141}}{{60}} \cdot 4} \right) = 0,185\;В\]