Условие задачи:

Плоская проволочная квадратная рамка со стороной 60 см находится в магнитном поле с индукцией 1 мТл, линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Затем рамку вытягивают в одну линию. Определить заряд, протекший по рамке при изменении её формы. Сопротивление единицы длины провода рамки 0,01 Ом/м.

Задача №8.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$a=60$ см, $B=1$ мТл, $\beta=90^\circ$, $R_0=0,01$ Ом/м, $q-?$

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток $\Phi$ через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

$$\Phi = BS\cos \alpha$$

В этой формуле $B$ — индукция магнитного поля, $S$ — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, $\alpha$ — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если квадратную рамку вытягивают в линию, значит конечная площадь рамки (а значит и магнитный поток через неё) равна нулю. Поэтому изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ равно начальному магнитному потоку, то есть:

$$\Delta \Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)$$

Понятно, что если угол между линиями магнитного поля и плоскостью рамки равен $\beta$, то угол $\alpha$ равен $\left( {90^\circ — \beta } \right)$.

Если сторона квадратной рамки равна $a$, то её площадь $S$ равна:

$$S = {a^2}$$

Формула (1) в таком случае примет вид:

$$\Delta \Phi = B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\;\;\;\;(2)$$

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

$${{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}$$

Подставим в полученную формулу выражение (2) (откинем символ изменения времени «дельта»):

$${{\rm E}_i} = \frac{{B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)}}{t}\;\;\;\;(3)$$

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

$${{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)$$

В этой формуле $I$ — сила тока в рамке, $R$ — сопротивление рамки.

Зная, что длина квадратной рамки равна $a$, а сопротивление единицы длины провода рамки равно $R_0$, найдем сопротивление $R$ по формуле:

$$R = 4{R_0}a$$

Полученное выражение подставим в формулу (4):

$${{\rm E}_i} = 4I{R_0}a\;\;\;\;(5)$$

Приравняем (3) и (5), тогда:

$$\frac{{B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) }}{t} = 4I{R_0}a$$

$$\frac{{Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) }}{t} = 4I{R_0}$$

Домножим обе части уравнения на время $t$:

$$Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) = 4It{R_0}$$

Произведение силы тока $I$ на время $t$ даёт искомый протекший через рамку заряд $q$, значит:

$$Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) = 4q{R_0}$$

$$q = \frac{{Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) }}{{4{R_0}}}$$

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

$$q = \frac{{{{10}^{ — 3}} \cdot 0,6 \cdot \cos \left( {90^\circ — 90^\circ } \right)}}{{4 \cdot 0,01}} = 0,015\;Кл = 15\;мКл$$

Ответ: 15 мКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.4.15 Проводник длиной l=1 м лежит на двух гладких горизонтальных шинах, расположенных
8.4.17 Квадратная рамка площадью 100 см2 вращается в магнитном поле с индукцией 0,2 Тл
8.4.18 Рамка площадью 20 см2, имеющая 1000 витков, вращается с частотой 50 Гц