Условие задачи:

Соленоид, содержащий 1000 витков медной проволоки сечением 0,2 мм², находится в однородном магнитном поле с осью, параллельной линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля равномерно изменяется со скоростью 0,01 Тл/с. Диаметр соленоида 5 см. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в соленоиде, концы которого замкнуты между собой.

Задача №8.4.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=1000\), \(S_{пр}=0,2\) мм², \(\alpha = 0^\circ\), \(\frac{\Delta B}{\Delta t}=0,01\) Тл/с, \(d=5\) см, \(W-?\)

Решение задачи:

Тепловую мощность \(W\), выделяющуюся в соленоиде при протекании по нему электрического тока, можно определить по такой формуле:

\[W = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]

Силу индукционного тока в контуре \(I\) будем искать, используя закон Ома:

\[I = \frac{{\rm E_i}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда получим:

\[W = \frac{{{\rm E}_i^2}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в соленоиде при изменении магнитного потока, пересекающего этот соленоид, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Учитывая, что соленоид содержит \(N\) витков, имеем:

\[{{\rm E}_i} = N\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]

Следует отметить, что для определения мгновенного значения ЭДС индукции по этой формуле интервал времени \(\Delta t\) должен стремиться к нулю, в противном случае Вы получите среднее значение ЭДС индукции. Будем считать, что в нашем случае магнитный поток изменялся равномерно, поэтому интервал времени \(\Delta t\) может быть каким угодно — среднее и мгновенное значения ЭДС индукции в таком случае будут одинаковы.

Модуль изменения магнитного потока \(\Delta \Phi\) будем определять по формуле (изменение магнитного потока происходило за счёт изменения величины магнитной индукции):

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \]

Здесь угол \(\alpha\) — угол между осью соленоида и вектором магнитной индукции, равный по условию \(\alpha = 0^\circ\), то есть \(\cos \alpha = 1\). Тогда:

\[\Delta \Phi = \Delta BS \]

Полученное выражение подставим в (4):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{N\Delta BS}}{{\Delta t}}\]

А это выражение подставим в (3):

\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{{N^2}{S^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Общее сопротивление соленоида можно найти по формуле:

\[R = \rho \frac{{N\pi d}}{{{S_{пр}}}}\;\;\;\;(6)\]

В этой формуле \(\rho\) — удельное электрическое сопротивление меди, равное 17 нОм·м.

Площадь одного витка соленоида \(S\) равна:

\[S = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\;\;\;\;(7)\]

Выражения (6) и (7) подставим в формулу (5):

\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{{N^2}{\pi ^2}{d^4}{S_{пр}}}}{{16\rho N\pi d}}\]

\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{N\pi {d^3}{S_{пр}}}}{{16\rho }}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем ответ:

\[W = \frac{{{{0,01}^2} \cdot 1000 \cdot 3,14 \cdot {{0,05}^3} \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{16 \cdot 17 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 28,9 \cdot {10^{ — 6}}\;Вт = 28,9\;мкВт\]

Ответ: 28,9 мкВт.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.4.52 При равномерном изменении силы тока через катушку из 500 витков в ней возникает
8.4.54 Какой ток идет через гальванометр с сопротивлением 100 Ом, присоединенный
8.4.55 Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником