Решение: В однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл расположены вертикально

Условие задачи:

В однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл расположены вертикально на расстоянии \(L=50\) см два металлических прута, замкнутых наверху. Плоскость, в которой расположены прутья, перпендикулярна вектору магнитной индукции. По прутьям без трения скользит вниз со скоростью 1 м/с перемычка ab массой 1 г. Определите сопротивление перемычки. Сопротивлением остальной части системы пренебречь.

Задача №8.4.57 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=10\) мТл, \(L=50\) см, \(\upsilon=1\) м/с, \(m=1\) г, \(R-?\)

Решение задачи:

Условно примем магнитное поле, направленное к нам (смотрите рисунок к решению задачи).

Итак, вполне понятно, что перемычка в начале будет скользить вниз под действием силы тяжести. Поскольку скользящая перемычка находится в горизонтальном магнитном поле, значит в ней будет возникать ЭДС индукции \(\rm E_i\), равная:

\[{{\rm E}_i} = B\upsilon l\]

Из-за возникающей ЭДС индукции \(\rm E_i\) в цепи, состоящей из прутьев и перемычки, будет течь ток, который можно определить, используя закон Ома. Направление тока – по часовой стрелке (смотрите рисунок к решению) – чтобы это доказать, нужно выделить в перемычке положительный заряд и узнать направление действующей на него силы Лоренца. Направление тока совпадает с направлением силы Лоренца, действующей на положительный заряд.

\[I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R}\]

То есть имеем:

\[I = \frac{{B\upsilon l}}{R}\;\;\;\;(1)\]

Из-за того, что в перемычке потечет ток, на неё станет действовать сила Ампера \(F_А\), причем она будет направлена вертикально вверх согласно правилу левой руки. Её значение можно найти по формуле:

\[{F_А} = IBl\]

Учитывая (1), имеем:

\[{F_А} = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Интересно, что начальное ускоренное движение перемычки под действием силы тяжести \(mg\) быстро сменится на равномерное из-за дополнительного действия силы Ампера \(F_А\), поскольку чем быстрее движется перемычка (т.е. чем больше ЭДС индукции), тем выше индукционный ток в цепи, и тем выше сила Ампера \(F_А\), тормозящая движение перемычки. Для равномерного движения перемычки применим первый закон Ньютона:

\[{F_А} = mg\]

Принимая во внимание (2), получим:

\[\frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R} = mg\]

Откуда сопротивление перемычки \(R\) равно:

\[R = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{{mg}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[R = \frac{{{{\left( {10 \cdot {{10}^{ – 3}}} \right)}^2} \cdot 1 \cdot {{0,5}^2}}}{{0,001 \cdot 10}} = 2,5 \cdot {10^{ – 3}}\;Ом = 2,5\;мОм\]