Давление азота в электрической лампочке объемом 0,15 л равно 68 кПа

Условие задачи:

Давление азота в электрической лампочке объемом 0,15 л равно 68 кПа. Сколько воды войдет в лампочку, если у нее отломить кончик под поверхностью воды? Атмосферное давление нормальное.

Задача №4.3.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_0=0,15\) л, \(p_0=68\) кПа, \(m-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Скажу честно, что с точки зрения физики задача простая. Кончик лампочки погрузили в воды, далее этот кончик отламывают, а поскольку давление в лампочке меньше атмосферного, то в ее полость устремляется вода. Будем считать, что процесс настолько быстрый, что температура не успеет поменяться, то есть он изотермический (\(T=const\)). Запишем закон Бойля-Мариотта, предварительно изобразив процесс на рисунке (схема под номером 1).

\[{p_0}{V_0} = {p_1}{V_1}\;\;\;\; (1)\]

Давление на поверхности жидкости равно атмосферному и оно уравновешивается конечным давлением газа в лампочке и столбом воды высотой \(h\) (см. рисунок, схема 1), поэтому:

\[{p_{атм}} = {p_1} + \rho gh\;\;\;\; (2)\]

Конечный объем, занимаемый азотом, равен разности объема лампочки и объема, занимаемого водой в конце процесса.

\[{V_1} = {V_0} – {V_в}\;\;\;\; (3)\]

Выразив \(p_1\) из формулы (2), подставим полученное и формулу (3) в формулу (1), тогда получим:

\[{p_0}{V_0} = \left( {{p_{атм}} – \rho gh} \right)\left( {{V_0} – {V_в}} \right)\;\;\;\; (4)\]

Необходимо знать, как сосчитать объем воды, проникшей в лампочку. Эта задача сводиться к вычислению объема шарового сегмента (смотри схему 2 на рисунке). Оказывается, она зависит от высоты шарового сегмента \(h\) и радиуса шара \(R\) и определяется по формуле:

\[{V_в} = \pi {h^2}\left( {R – \frac{h}{3}} \right)\]

Но нам не известен радиус шара, выразим его из известного объема шарообразной лампочки:

\[{V_0} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]

\[R = \sqrt[3]{{\frac{{3{V_0}}}{{4\pi }}}}\;\;\;\; (5)\]

В итоге формула (4) примет вид:

\[{p_0}{V_0} = \left( {{p_{атм}} – \rho gh} \right)\left( {{V_0} – \pi {h^2}\left( {R – \frac{h}{3}} \right)} \right)\]

В этом уравнении одно неизвестное \(h\) (радиус шара \(R\) можно найти численно). Решить задачу в общем виде не представляется возможным, поэтому подставим в это уравнение исходные данные в системе СИ. Тогда решив это уравнение 4-той степени мы получим численные значения \(h\) также в системе СИ, т.е. в метрах.

Вычислим для начала численно радиус лампочки по формуле (5):

\[R = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot 15 \cdot {{10}^{ – 5}}}}{{4 \cdot 3,14}}}} = 0,033\; м\]

\[68 \cdot {10^3} \cdot 15 \cdot {10^{ – 5}} = \left( {{{10}^5} – {{10}^3} \cdot 10 \cdot h} \right)\left( {15 \cdot {{10}^{ – 5}} – 3,14 \cdot {h^2}\left( {0,033 – \frac{h}{3}} \right)} \right)\]

\[10,2 = \left( {{{10}^5} – {{10}^4}h} \right)\left( {0,00015 – 0,1037{h^2} + 1,0472{h^3}} \right)\]

После раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых получается следующее уравнение четвертой степени:

\[10472{h^4} – 105757{h^3} + 10370{h^2} + 1,5h – 4,8 = 0\]

Уравнение отлично решается c помощью сайта Wolfram Alpha и имеет следующие корни:

\[\left[ \begin{gathered}
h = – 0,0196904\; м \hfill \\
h = 0,0247813\; м \hfill \\
h = 0,0939361\; м \hfill \\
h = 10\; м \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Все корни, кроме второго не подходят как решения, поскольку первый корень – отрицателен, а третий и четвертый – больше чем два радиуса (уровень воды не может быть больше диаметра лампочки).

Массу воды, вошедшую в лампочку, найдем через ее объем (по формуле шарового сегмента, смотри выше) и плотность:

\[m = \rho {V_{в}}\]

\[m = \rho \pi {h^2}\left( {R – \frac{h}{3}} \right)\]

В итоге:

\[m = {10^3} \cdot 3,14 \cdot {0,0247813^2}\left( {0,033 – \frac{{0,0247813}}{3}} \right) = 0,0477\; кг\]

Честно говоря, я не знаю более простого решения. С точки зрения математики задача очень сложная, но легко решается при наличии доступа к компьютеру.

Ответ: 0,048 кг.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.3.23 Газ занимает объем 8 л при температуре 300 К. Определите массу газа
4.3.25 Бутылка с газом закрыта пробкой, площадь сечения которой 2,5 см2
4.3.26 В цилиндре под поршнем находится газ. Масса поршня 0,6 кг

Пожалуйста, поставьте оценку
( 5 оценок, среднее 4.2 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 4
  1. Elnar

    Можно ли решать найдя объем азота при нормальном давлении, и если вычесть его из всего объема найдем объем воды

    1. Easyfizika (автор)

      Вы считаете, что после того, как у лампочки отломят кончик, давление азота внутри лампочки будет атмосферным. Но я не могу понять почему. Если это предположение верно, то да, так можно решать.

      Скорее всего там давление немного больше атмосферного, но при решении считают, что оно равно атмосферному. В таком случае Ваш ход мыслей верен. Ваше решение будет гораздо короче.

      1. Pepe

        Можно пренебречь давлением, которое оказывает вода. Допустим что вода полностью заполнит лампочку радиусом 0.033м. Тогда Давление воды pgl=1000*10*0.033=330 Па. Это много меньше, чем давление газа, а учитывая, что вода заполнит не всю лампочку, то давление и подавно будет меньше. Тогда Просто считаем, что газ внутри лампочки под нормальным давлением, а дальше просто по закону Бойля-Мариотта.

        1. Easyfizika (автор)

          Все верно! Скоро поправлю решение

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: