Условие задачи:
Расположенная горизонтально, запаянная с обоих концов стеклянная трубка разделена столбиком ртути на две равные части. Длина каждого столбика воздуха 20 см. Давление нормальное. Если трубку повернуть вертикально, ртутный столбик опустится на 2 см. Определить длину столбика ртути.
Задача №4.3.33 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(l = 20\) см, \(\Delta l = 2\) см, \(h-?\)
Решение задачи:
С газом, расположенным по обе части от столбика ртути, будет происходить изотермический процесс (\(T=const\)). Запишем для обоих столбиков газа закон Бойля-Мариотта, учитывая, что объем газа можно считать как произведение площади сечения на длину столбика (концевыми сферическими участками пренебрегаем).
\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0}Sl = {p_1}S\left( {l + \Delta l} \right)\,\,\,\,(1) \hfill \\
{p_0}Sl = {p_2}S\left( {l — \Delta l} \right)\,\,\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Выразим из формулы (1) и (2) давления \(p_1\) и \(p_2\):
\[{p_1} = \frac{{{p_0}l}}{{l + \Delta l}}\]
\[{p_2} = \frac{{{p_0}l}}{{l — \Delta l}}\]
Когда трубку расположат вертикально, давление, оказываемое верхним столбиком газа, будет передаваться ртутью на нижний столбик газа, поэтому справедливо:
\[{p_1} + \rho gh = {p_2}\]
Подставим в эту формулу полученные выражения для \(p_1\) и \(p_2\) и выразим искомую высоту \(h\):
\[\frac{{{p_0}l}}{{l + \Delta l}} + \rho gh = \frac{{{p_0}l}}{{l — \Delta l}}\]
\[h = \frac{{{p_0}}}{{\rho g}}\left( {\frac{{l(l + \Delta l) — l(l — \Delta l)}}{{{l^2} — \Delta {l^2}}}} \right) = \frac{{{p_0}}}{{\rho g}}\left( {\frac{{{l^2} + l \cdot \Delta l — {l^2} + l \cdot \Delta l)}}{{{l^2} — \Delta {l^2}}}} \right)\]
\[h = \frac{{2{p_0} \cdot l \cdot \Delta l}}{{\rho g\left( {{l^2} — \Delta {l^2}} \right)}}\]
Для получения численного ответа подставим исходные данные в системе СИ:
\[h = \frac{{2 \cdot {{10}^5} \cdot 0,2 \cdot 0,02}}{{13600 \cdot 10 \cdot \left( {{{0,2}^2} — {{0,02}^2}} \right)}} = 0,1485 \; м \approx 0,15 \; м \]
Ответ: 0,15 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.3.32 Один конец цилиндрической трубки, длина которой 25 см и радиус 1 см
4.3.34 В вертикальном закрытом цилиндре находится подвижный поршень
4.3.35 Открытую стеклянную трубку длиной 1 м наполовину погружают в ртуть
«p1+?gh=p2 давление, оказываемое верхним столбиком газа, будет передаваться ртутью»
1)Но ведь давление оказывается газом. Значит и высота должна браться газа, а она равна l+?l.
2) Почему не учитывается вес ртути ?
1) Тут p1- давление верхнего столбика газа, ?gh — давление ртути, p2- давление нижнего столбика газа. Давление верхнего столбика газа передается на нижний столбик газа через ртуть. Давление газа через высоту столба никогда не находим, разве что в случае Земной атмосферы, но это может быть только в задачах ВУЗов или школьных олимпиад.
2) Выражение ?gh выходит из mg/S, так что учитываем.
Спасибо
при выражении h неправильно раскрыты скобки
Да, была опечатка, её исправили.
Спасибо огромное за замечание!