Условие задачи:
Тонкий резиновый шар радиусом 2 см наполнен воздухом при температуре 20° C и давлении 100 кПа. Каким будет радиус шара, если его опустить в воду с температурой 4° C на глубину 20 м?
Задача №4.2.89 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(r_0=2\) см, \(t_0=20^\circ\) C, \(p_0=100\) кПа, \(t_1=4^\circ\) C, \(h=20\) м, \(r_1-?\)
Решение задачи:
Запишем объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона) для воздуха, находящегося в шаре:
\[\frac{{{p_0}{V_0}}}{{{T_0}}} = \frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}}\;\;\;\;(1)\]
Поскольку резиновый шар легко деформируется, то давление воздуха внутри него всегда равно внешнему давлению. Поэтому изначально воздух в шаре оказывал давление, равное атмосферному \(p_0\). Затем, после погружения на глубину \(h\), давление воздуха в шаре станет равным давлению воды, которое определяется законом Паскаля:
\[{p_1} = {p_0} + \rho gh\]
Здесь \(\rho\) — плотность воды, равная 1000 кг/м3.
Объем шара в общем случае можно найти через его радиус \(r\) по формуле:
\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]
Тогда уравнение (1) примет вид:
\[\frac{{{p_0} \cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3}}{{{T_0}}} = \frac{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right) \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3}}{{{T_1}}}\]
Выразим из этого равенства искомый радиус \(r_1\):
\[\frac{{{p_0}r_0^3}}{{{T_0}}} = \frac{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)r_1^3}}{{{T_1}}}\]
\[r_1^3 = \frac{{{p_0}r_0^3{T_1}}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right){T_0}}}\]
\[{r_1} = {r_0}\sqrt[3]{{\frac{{{p_0}{T_1}}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right){T_0}}}}}\]
Переведем величины в систему СИ:
\[2\;см = 0,02\;м\]
\[20^\circ\;С = 293\;К\]
\[4^\circ\;С = 277\;К\]
Посчитаем ответ:
\[{r_1} = 0,02 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 277}}{{\left( {100 \cdot {{10}^3} + {{10}^3} \cdot 10 \cdot 20} \right) \cdot 293}}}} = 0,014\;м\]
Ответ: 0,014 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.2.88 Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра есть поршень
4.2.90 Цилиндрический сосуд делится невесомым поршнем на две части. В одну часть сосуда
4.2.91 Два одинаковых шара соединены тонкой трубкой, в которой находится капелька ртути
![](/mark_r_img.png)
Здравствуйте. Как рассчитать потраченную энергию при уменьшении объема газа?
ДЛЯ уменьшения объёма газа. Например, сколько потратится энергии при нажатии на поршень для уменьшения объёма цилиндра на 10%?
Не понимаю, как такое возможно, что давление в шаре, погружённом в воду будет больше, чем у шара, при атмосферной давлении?
Точнее, я не понимаю, почему давления стало равным Рo +pgh, а не просто pgh?
Давление внутри шара всегда равно полному давлению снаружи шара (ниже я объяснил почему).
Возьмите крайний случай, когда \(h \to 0\). По Вашей формуле получается, что давление шара, погруженного в воду близи её поверхности, равно нулю. При этом если шар вынуть из воды, то там давление воздуха там уже атмосферное. Нестыковка получается, из-за чего падение давления происходит?
Из-за того, что материал, из которого изготовлен шар (резина), легко деформируется, то давление внутри шара всегда равно давлению снаружи шара.![:smile:](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/smile.png)
Но если бы шар был из стали (сталь плохо деформируется, точнее говоря, для деформации нужно гораздо большее давление), то давление уже было бы разным. Собственно говоря, поэтому мы и можем хранить газы под высоким давлением в газовых баллонах.
Перепутали местами 277 и 293. Написано в формуле одно, а подставляете наоборот. А так очень хорошо описан процесс решения, спасибо
Верно подметили, спасибо за дельное замечание и комплимент![:smile:](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/smile.png)
Добрый вечер! Почему мы в данной задаче не выражаем плотность воды из уравнения Менделеева-Клапейрона?
Уравнение Клапейрона-Менделеева — это газовый закон, его нельзя использовать для веществ в жидком состоянии (тем более плотность воды — величина табличная).
Если Ваш вопрос был про уравнение (1) в моем решении, то могу сказать, что его можно вывести, дважды записав уравнение Клапейрона-Менделеева. Отмечу, что это уравнение (1) записано для воздуха в шаре.