Условие задачи:
Тонкостенный резиновый шар собственным весом 0,6 Н наполнен неоном и погружен в озеро на глубину 120 м. Найти массу неона, если шар находится в положении равновесия. Температура воды 4° C. Натяжением резины пренебречь.
Задача №4.2.103 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(P=0,6\) Н, \(h=120\) м, \(t=4^\circ\) C, \(m-?\)
Решение задачи:
На резиновый шар действуют такие силы: сила Архимеда \(F_А\) и суммарная сила тяжести \(\left( {{m_ш}g + mg} \right)\), действующая на шар с неоном. Так как шар находится в равновесии, то эти силы компенсируют друг друга, то есть справедливо равенство:
\[{F_А} = {m_ш}g + mg\;\;\;\;(1)\]
Собственный вес резинового шара \(P\) равен силе тяжести \({m_ш}g\), действующей на этот шар, поэтому:
\[P = {m_ш}g\;\;\;\;(2)\]
Выталкивающую силу воды \(F_А\) определяют по такой формуле:
\[{F_А} = \rho Vg\;\;\;\;(3)\]
Здесь \(\rho\) — плотность воды, равная 1000 кг/м3.
Чтобы определить объем шара \(V\) на глубине \(h\), запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для неона:
\[pV = \frac{m}{M}RT\]
Молярная масса неона \(M\) равна 0,020 кг/моль. Выразим объем шара:
\[V = \frac{{mRT}}{{pM}}\]
Поскольку стенка шара является тонкой, то давление неона внутри резинового шара равно внешнему давлению воды. Последнее определяется по закону Паскаля:
\[p = {p_0} + \rho gh\]
В этой формуле \(p_0\) — атмосферное давление, равное 100 кПа.
\[V = \frac{{mRT}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)M}}\]
Формула (3) для определения выталкивающей силы станет такой:
\[{F_А} = \frac{{\rho mgRT}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)M}}\;\;\;\;(4)\]
Подставим выражения (2) и (4) в формулу (1), тогда:
\[\frac{{\rho mgRT}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)M}} = P + mg\]
Осталось только выразить из полученного равенства массу неона \(m\):
\[\frac{{\rho mgRT — \left( {{p_0} + \rho gh} \right)Mmg}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)M}} = P\]
\[\frac{{mg\left( {\rho RT — \left( {{p_0} + \rho gh} \right)M} \right)}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)M}} = P\]
\[m = \frac{{PM\left( {{p_0} + \rho gh} \right)}}{{\rho RT — \left( {{p_0} + \rho gh} \right)M}}\]
Переведём температуру в систему СИ:
\[4^\circ\;C = 277\;К\]
Произведём вычисления:
\[m = \frac{{0,6 \cdot 0,02 \cdot \left( {100 \cdot {{10}^3} + 1000 \cdot 10 \cdot 120} \right)}}{{1000 \cdot 8,31 \cdot 277 — \left( {100 \cdot {{10}^3} + 1000 \cdot 10 \cdot 120} \right) \cdot 0,02}} = 6,85 \cdot {10^{ — 3}}\;кг = 685\;мг\]
Ответ: 685 мг.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.2.102 В закрытом с обоих концов цилиндре длиной 2 м поршень соединён с днищами пружинами
4.2.104 Давление воздуха в сосуде равно 102,4 кПа. Вместимость цилиндра разрежающего насоса
4.2.105 Компрессор всасывает в 1 мин 3 м3 сухого воздуха при температуре 290 К и давлении 100 кПа
![](/mark_r_img.png)
Плотность по уравнению Клапейрона-Менделеева зависит от давления. Значит чем больше давление, тем больше плотность P=pRT/M т.к. они прямо пропорциональны . Но почему ? — плотность воды, везде(во всех задачах, которые я видел за школьную программу) равная 1000 кг/м3 на разной высоте глубины ?
Потому что уравнение работает только для газов, причем идеальных. Она будет работать для водяного пара, например, пока он не насыщенный, но не для жидкой воды.