Условие задачи:
В сосуд, на дне которого лежит твердый шар, нагнетают воздух при температуре 27° C. Когда давление в сосуде стало равно 2 МПа, шар поднялся вверх. Чему равна масса шара, если его радиус 5 см?
Задача №4.2.101 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(t=27^\circ\) C, \(p=2\) МПа, \(r=5\) см, \(m-?\)
Решение задачи:
Шар поднимется, когда выполнится условие плавания тел, т.е. сила Архимеда, действующая на шар, станет равной силе тяжести шара:
\[{F_А} = mg\]
Выталкивающую силу \(F_А\) определяют по формуле:
\[{F_А} = \rho Vg\]
Здесь \(\rho\) — плотность среды, в которую погружен шар, то есть плотность воздуха, \(V\) — объем твёрдого шара. Тогда:
\[\rho Vg = mg\]
\[m = \rho V\;\;\;\;(1)\]
Зная радиус шара, легко определить его объем из следующего выражения:
\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\;\;\;\;(2)\]
Чтобы найти плотность воздуха, запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для воздуха в объеме сосуда \(V_1\) (пусть в этом объеме содержится воздух массой \(m_1\)):
\[p{V_1} = \frac{{{m_1}}}{M}RT\]
Разделим обе части уравнения на объем \(V_1\):
\[p = \frac{{{m_1}}}{{M{V_1}}}RT\]
Молярная масса воздуха \(M\) равна 29 г/моль или 0,029 кг/моль.
Отношение массы воздуха \(m_1\) к объему \(V_1\) есть плотность воздуха:
\[p = \frac{\rho }{M}RT\]
\[\rho = \frac{{pM}}{{RT}}\;\;\;\;(3)\]
Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), в итоге получим:
\[m = \frac{{4pM\pi {r^3}}}{{3RT}}\]
Выполним перевод величин в систему СИ:
\[27^\circ\;C = 300\;К\]
\[5\;см = 0,05\;м\]
Численно масса шара равна:
\[m = \frac{{4 \cdot 2 \cdot {{10}^6} \cdot 0,029 \cdot 3,14 \cdot {{0,05}^3}}}{{3 \cdot 8,31 \cdot 300}} = 0,0122\;кг\]
Ответ: 0,0122 кг.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.2.100 В цилиндре с площадью основания 100 см2 находится воздух. Поршень расположен на высоте
4.2.102 В закрытом с обоих концов цилиндре длиной 2 м поршень соединён с днищами пружинами
4.2.103 Тонкостенный резиновый шар собственным весом 0,6 Н наполнен неоном и погружен в озеро
![](/mark_r_img.png)
нельзя так нагнетать воздух![;-)](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/wink.png)