Решение: В цилиндре длиной 2L=2 м тонкий поршень соединён с днищами пружинами одинаковой

Условие задачи:

В цилиндре длиной \(2L=2\) м тонкий поршень соединён с днищами пружинами одинаковой жесткости 1,5 кН/м. Вначале цилиндре откачан и пружины не напряжены. Сколько грамм кислорода было введено в одну из половин, если поршень сместится на 0,5 м при 0° C?

Задача №4.2.107 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=1\) м, \(k=1,5\) кН/м, \(x=0,5\) м, \(t=0^\circ\) C, \(m-?\)

Решение задачи:

Очевидно, что смещение поршня равно деформации каждой из пружин. Причём та пружина, которая находится в той же части цилиндра, куда ввели кислород, будет растягиваться, а другая — сжиматься.

Поршень через некоторое время после введения кислорода окажется в равновесии. На него действуют следующие силы: две силы упругости \(kx\) (обратите внимание на их направление) и сила давления газа \(pS\). Запишем первый закон Ньютона:

\[pS = 2kx\;\;\;\;(1)\]

Кислород будет занимать объем \(V\), равный (здесь \(S\) — площадь поперечного сечения цилиндра):

\[V = S\left( {L + x} \right)\;\;\;\;(2)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для кислорода:

\[pV = \frac{m}{M}RT\]

Учитывая выражение (2), имеем:

\[pS\left( {L + x} \right) = \frac{m}{M}RT\]

Выразим произведение \(pS\):

\[pS = \frac{{mRT}}{{M\left( {L + x} \right)}}\]

Тогда равенство (1) примет вид:

\[\frac{{mRT}}{{M\left( {L + x} \right)}} = 2kx\]

Откуда искомая масса введённого кислорода \(m\) равна: