Условие задачи:
Внутри замкнутого цилиндра, наполненного воздухом, находится шарик радиусом 3 см и массой 3 г. Какое давление необходимо создать внутри цилиндра, чтобы шарик находился во взвешенном состоянии, если поддерживается температура 17° C?
Задача №4.2.84 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(r=3\) см, \({m_ш}=3\) г, \(t=17^\circ\) C, \(p-?\)
Решение задачи:
На шарик действует сила Архимеда \(F_А\) и сила тяжести \({m_ш}g\). Выталкивающую силу (так ещё называют силу Архимеда) \(F_А\) находят по следующей формуле:
\[{F_А} = \rho Vg\;\;\;\;(1)\]
Изначально шарик будет находиться на дне цилиндра. Затем при повышении давления повысится и плотность воздуха (смотри формулу (3)) в цилиндре, вследствие чего увеличится и сила Архимеда \(F_А\) (это видно по формуле (1)). Когда выполнится следующее условие, шарик всплывёт:
\[{F_А} = {m_ш}g\]
Тогда:
\[\rho Vg = {m_ш}g\]
\[\rho V = {m_ш}\;\;\;\;(2)\]
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для находящегося в цилиндре воздуха:
\[p{V_1} = \frac{m}{M}RT\]
Молярная масса воздуха \(M\) равна 29 г/моль или 0,029 кг/моль.
Поделим обе части уравнения на объем цилиндра \(V_1\), тогда можем отношение массы воздуха \(m\) к объему цилиндра \(V_1\) в правой части заменить плотностью воздуха \(\rho\).
\[p = \frac{m}{{M{V_1}}}RT\]
\[p = \frac{\rho }{M}RT\]
\[\rho = \frac{{pM}}{{RT}}\;\;\;\;(3)\]
Объем шарика определяют по такой формуле:
\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\;\;\;\;(4)\]
Равенство (2) с учётом выражений (3) и (4) примет вид:
\[\frac{{pM}}{{RT}} \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3} = {m_ш}\]
Откуда давление воздуха \(p\), при котором всплывёт шарик, равно:
\[p = \frac{{3{m_ш}RT}}{{4\pi {r^3}M}}\]
Переведём величины в систему СИ:
\[3\;см = 0,03\;м\]
\[3\;г = 0,003\;кг\]
\[17^\circ\;С = 290\;К\]
Посчитаем ответ:
\[p = \frac{{3 \cdot 0,003 \cdot 8,31 \cdot 290}}{{4 \cdot 3,14 \cdot {{0,03}^3} \cdot 0,029}} = 2,21 \cdot {10^6}\;Па = 2,21\;МПа\]
Ответ: 2,21 МПа.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.2.83 Воздушный шар объемом 20 м3, наполненный гелием, поднялся на высоту 180 м за 0,5 минуты
4.2.85 На дне цилиндра, наполненного воздухом, плотность которого 1,29 кг/м3, лежит полый
4.2.86 В замкнутом сосуде к верхней стенке на пружине жесткостью 4 Н/м подвешена сфера
![](/mark_r_img.png)