Решение: Мотоциклист движется по цилиндрической стенке диаметра 12 м. При каком коэффициенте

Условие задачи:

Мотоциклист движется по цилиндрической стенке диаметра 12 м. При каком коэффициенте трения между стеной и колесами мотоцикла возможно движение со скоростью 54 км/ч?

Задача №2.4.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(D=12\) м, \(\upsilon=54\) км/ч, \(\mu-?\)

Решение задачи:

На мотоциклиста действуют 3 силы: сила тяжести \(mg\), сила реакции опоры \(N\) и сила трения покоя \(F_{тр.п}\), которая не дает ему соскользнуть вниз (смотрите схему).

Минимальный коэффициент трения \(\mu\), при котором возможно такое движение, имеет место, когда сила трения покоя принимает максимальное значение. Как известно, в этом случае сила трения покоя уже равна силе трения скольжения, но тело ещё не проскальзывает. Поэтому:

\[{F_{тр.п}} = \mu N\;\;\;\;(1)\]

Первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\) дает такое равенство:

\[{F_{тр.п}} = mg\;\;\;\;(2)\]

Запишем также второй закон Ньютона в проекции на ось\(x\):

\[N = m{a_ц}\]

Как известно, радиус цилиндра равен половине его диаметра \(R=\frac{D}{2}\). Учитывая, что скорость мотоцикла равна \(\upsilon\), то центростремительное ускорение \(a_ц\) найдем по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R} = \frac{{2{\upsilon ^2}}}{D}\]

\[N = \frac{{2m{\upsilon ^2}}}{D}\]

Полученное подставим в (1), тогда:

\[{F_{тр.п}} = \frac{{2\mu m{\upsilon ^2}}}{D}\]

Приравняем с (2), получим:

\[\frac{{2\mu m{\upsilon ^2}}}{D} = mg\]

\[\frac{{2\mu {\upsilon ^2}}}{D} = g\]

\[\mu = \frac{{gD}}{{2{\upsilon ^2}}}\]

Переведем скорость в систему СИ:

\[54\; км/ч = \frac{{54 \cdot 1000}}{{1 \cdot 3600}}\; м/с = \frac{{540}}{{36}}\; м/с = 15\; м/с\]

Считаем ответ:

\[\mu = \frac{{10 \cdot 12}}{{2 \cdot {{15}^2}}} = 0,27\]