Условие задачи:

На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему электрону, причем сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек?

Задача №6.1.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(F_{эл}=F_{тяг}\), \(r-?\)

Решение задачи:

Пусть \(R\) — расстояние между капельками воды.

Так как на каждой капельке воды находится по одному лишнему электрону, то по закону Кулона они будут отталкиваться с силой \(F_{эл}\), равной:

\[{F_{эл}} = \frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·109 Н·м2/Кл2, \(e\) — элементарный заряд, равный 1,6·10-19 Кл.

По закону всемирного тяготения капельки воды будут притягиваться с силой \(F_{тяг}\), определяемой по формуле:

\[{F_{тяг}} = \frac{{G{m^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(G\) — гравитационная постоянная, она равна 6,67·10-11 Н·м2/кг2.

Массу капельки воды \(m\) запишем как произведение плотности воды \(\rho\) (она равна 1000 кг/м3) на объем одной капельки \(V\):

\[m = \rho V\;\;\;\;(3)\]

Капля имеет шарообразную форму, поэтому её объем \(V\) можно найти по формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), а полученное в (2), тогда:

\[{F_{тяг}} = \frac{{16G{\rho ^2}{\pi ^2}{r^6}}}{{9{R^2}}}\;\;\;\;(5)\]

По условию задачи сила электрического отталкивания уравновешивает силу их взаимного тяготения, то есть \(F_{эл}=F_{тяг}\), поэтому приравняем (1) и (5):

\[\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{16G{\rho ^2}{\pi ^2}{r^6}}}{{9{R^2}}}\;\;\;\;(6)\]

\[k{e^2} = \frac{{16}}{9}G{\rho ^2}{\pi ^2}{r^6}\]

Откуда искомый радиус капелек \(r\) равен:

\[r = \sqrt[6]{{\frac{{9k{e^2}}}{{16G{\rho ^2}{\pi ^2}}}}}\]

Произведём расчёт численного ответа:

\[r = \sqrt[6]{{\frac{{9 \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot {{1,6}^2} \cdot {{10}^{ — 38}}}}{{16 \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ — 11}} \cdot {{1000}^2} \cdot {{3,14}^2}}}}} = 0,0000763\;м = 76,3\;мкм\]

Ответ: 76,3 мкм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.4 С какой силой ядро атома железа (Fe) притягивает электрон, находящийся
6.1.6 Два заряженных шара одинакового радиуса, массой 0,3 кг каждый, расположены
6.1.7 По теории Бора электрон в атоме водорода вращается вокруг ядра

Пожалуйста, поставьте оценку
( 16 оценок, среднее 4.56 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 21
  1. мамонт

    правильно

  2. Дмитрий

    Ну и решение, никогда бы не догадался :grin:

    1. Easyfizika (автор)

      Мне кажется, что здесь все чересчур просто :roll:

  3. Аноним

    А как вы извлекали корень 6-ой степени? можно поподробней пожалуйста.

    1. Easyfizika (автор)

      Извлечь корень шестой степени — это то же самое, что и возвести в степень \(\frac{1}{6}\).
      Это можно сделать на любом инженерном калькуляторе :smile:

  4. Аноним

    Спс :idea: :idea: :idea: :idea: :idea:

  5. Tiger

    почему мы не учли диэлектрическую проницаемость воды?

    1. Easyfizika (автор)

      Потому что капельки находятся в воздухе, да и сами капли по величине очень маленькие.

  6. Sedzi

    а что если у капелек два лишних электрона?

    1. Easyfizika (автор)

      В формуле (1) в числителе добавится 4 (2 в квадрате).

      1. Sedzi

        получается F=ke^4? (1)
        а в (6) начнется так ke^4/R2=16Gp^2Пи^2r^6/9R^3
        и дальше меняем в формуле где ищем r e^2 на e^4?
        то в самом решение изменится из 1,6^2 в 1,6^4

        1. Easyfizika (автор)

          Нет, F=4ke^2/R^2
          Далее:
          4ke^2/R^2=(16/9)*G?^2?^2r^6/R^2
          4ke^2=(16/9)*G?^2?^2r^6
          r=(9ke^2/(4G?^2?^2))^(1/4)

          Короче говоря, точно такая же формула, как и у меня, но в знаменателе 4 вместо 16.

  7. Аноним

    Мне тут надо найти массу вместо радиус это как решить?

    1. Easyfizika (автор)

      У вас будет очень просто — всего лишь приравняйте выражения (1) и (2), далее все очевидно

      1. Аноним

        Как это сделать можно формулу

        1. Easyfizika (автор)

          k*e^2/R^2=G*m^2/R^2
          k*e^2=G*m^2
          m=e*?(k/G)

          1. Аноним

            Спасибо))

  8. Мкс

    Можно ли решить задачу, учитывая что для силы тяготения берется расстояние между центрами капель, для силы кулона, расстояние между центрами капель+2*радиуса капель.

    1. Easyfizika (автор)

      При данном условии — нет, поскольку уравнение (6) будет иметь другой вид:

      k*e^2/(R+2r)^2=16/9*G*?^2*?^2*r^6/R^2

      Вы имеете только одно уравнение, а неизвестных в нём будет две — это радиус капель r и расстояние между каплями R.

  9. эхсон

    Что такое мкм

    1. Easyfizika (автор)

      Микрометр — одна миллионная метра (1 мкм =10^(-6) м)

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: