Условие задачи:

На нити длиной 1 м подвешено тело массой 1 кг. На какой максимальный угол можно его отклонить, чтобы при движении нить не оборвалась? Нить может выдержать нагрузку, превосходящую вес тела в 2 раза.

Задача №2.8.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=1\) м, \(m=1\) кг, \(T_{max}=2mg\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Давайте узнаем в какой точке траектории сила натяжения нити примет максимальное значение. Для этого нарисуем произвольное положение тела, при котором оно имеет скорость \(\upsilon\), а угол между нитью и вертикалью составляет \(\varphi\). Для этого положения запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, совпадающей с нитью (ось \(y\) на схеме):

\[T — mg\cos \varphi  = m{a_ц}\]

Центростремительное ускорение тела можно найти по формуле:

\[a = \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}\]

Тогда:

\[T = m\left( {g\cos \varphi  + \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}} \right)\;\;\;\;(1)\]

Легко понять, что изначально тело находится на высоте \(H = l\left( {1 — \cos \alpha } \right)\). В произвольной выбранной точке тело будет уже находиться на высоте \(h = l\left( {1 — \cos \varphi } \right)\). Из закона сохранения энергии следует:

\[mgH = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + mgh\]

\[mgl\left( {1 — \cos \alpha } \right) = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + mgl\left( {1 — \cos \varphi } \right)\]

\[{\upsilon ^2} = 2gl\left( {\cos \varphi  — \cos \alpha } \right)\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в (1).

\[T = m\left( {g\cos \varphi  + \frac{{2gl\left( {\cos \varphi  — \cos \alpha } \right)}}{l}} \right)\]

\[T = mg\left( {3\cos \varphi  — 2\cos \alpha } \right)\]

Так как начальный угол отклонения \(\alpha\) и масса тела \(m\) есть величины постоянные, то очевидно, что сила натяжения будет тем больше, чем больше косинус угла \(\varphi\), а он тем больше, чем угол \(\varphi\) меньше (так как косинус — убывающая функция).

Значит максимальное значение силы натяжения будет иметь место при угле \(\varphi\) равно 0° (\(\cos \varphi  = 1\)), то есть в нижней точке траектории.

\[{T_{max}} = mg\left( {3 — 2 \cos \alpha } \right)\]

По условию \(T_{max}=2mg\), значит:

\[2mg = mg\left( {3 — 2\cos \alpha } \right)\]

\[3 — 2\cos \alpha  = 2\]

\[\cos \alpha  = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = 60^\circ  = \frac{\pi }{3}\]

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.29 Камень бросили под углом 60 градусов к горизонту со скоростью 15 м/с. Найдите
2.8.31 Пуля, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в ящик, лежащий
2.8.32 С какой начальной скоростью v0 нужно бросить вниз мяч с высоты h, чтобы он