Решение: Над одним молем идеального газа совершают цикл, показанный на рисунке

Условие задачи:

Над одним молем идеального газа совершают цикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла, если работа газа на участке 2-3 равна 2 кДж, а на участке 1-4 равна 1,5 кДж. $T_1=300$ К, $T_2=2T_1$ .

Задача №5.5.46 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\nu=1$ моль, $A_{23}=2$ кДж, $A_{14}=1,5$ кДж, $T_1=300$ К, $T_2=2T_1$ , $\eta-?$

Решение задачи:

Изобразим проводимый над газом цикл в координатах p-V (смотрите схему к решению).

Коэффициент полезного действия цикла $\eta$ будем определять по следующей формуле:

$\eta = \frac{A}{{{Q_н}}}\;\;\;\;(1)$

Из графика цикла в координатах p-V видно, что работа газа в процессах 1-2 и 3-4 равна нулю (так площадь фигур под графиками этих процессов равна нулю). Тогда работа цикла $A$ равна:

$A = {A_{23}} + {A_{41}}$

Понятно, что $A_{41} = — A_{14}$ , поэтому:

$A = {A_{23}} — {A_{14}}\;\;\;\;(2)$

Чтобы найти количество теплоты $Q_н$ , нужно найти все процессы в цикле, в которых тепло подводилось к газу. Для это нам понадобится первый закон термодинамики:

$Q = \Delta U + A\;\;\;\;(3)$

Также изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ следует искать по формуле (будем считать, что газ одноатомный, иначе задачу решить не получится):

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T\;\;\;\;(4)$

Рассмотрим изохорный процесс 1-2 ( $V=const$ ). Работа газа $A_{12}$ в этом процессе равна нулю. Тогда по формулам (3) и (4) количество теплоты $Q_{12}$ равно:

${Q_{12}} = \frac{3}{2}\nu R\Delta {T_{12}}\;\;\;\;(5)$

Так как в изохорном процессе 1-2 давление увеличивается, значит по закону Шарля увеличивается и температура (то есть $\Delta T_{12}>0$ ). Поэтому согласно формуле (5) можно сделать вывод, что $Q_{12}>0$ , то есть в этом процессе тепло подводится к газу. Также:

${Q_{12}} = \frac{3}{2}\nu R\left( {{T_2} — {T_1}} \right)$

В условии говорится, что $T_2=2T_1$ , поэтому:

${Q_{12}} = \frac{3}{2}\nu R\left( {2{T_1} — {T_1}} \right)$

${Q_{12}} = \frac{3}{2}\nu R{T_1}\;\;\;\;(6)$

Если Вы проведёте аналогичные рассуждения для другого изохорного процесса 3-4, то придёте к выводу, что $Q_{34}<0$ , то есть в этом процессе теплота отводится от газа.

Теперь рассмотрим изотермический процесс 2-3 ( $T=const$ ). Так как температура газа в этом процессе постоянна, значит изменение внутренней энергии газа $\Delta U_{23}$ по формуле (4) равно нулю. По формулам (3) и (4) количество теплоты $Q_{23}$ равно:

${Q_{23}} = {A_{23}}\;\;\;\;(7)$

Так как газ в этом процессе расширяется, то $A_{23}>0$ (также это понятно из условия, поскольку дано численное значение $A_{23}$ ), значит согласно формуле (7) в процессе 2-3 теплота подводилась к газу.

Проведя аналогичные рассуждения для другого изотермического процесса 4-1, Вы придёте к выводу, что $Q_{41}<0$ , то есть в этом процессе теплота отводится от газа.

Получается, что теплота к газу подводилась только в процессах 1-2 и 2-3, поэтому количество теплоты $Q_н$ равно:

${Q_н} = {Q_{12}} + {Q_{23}}$

Учитывая формулы (6) и (7), получим:

${Q_н} = \frac{3}{2}\nu R{T_1} + {A_{23}}\;\;\;\;(8)$