Решение: Найти кинетическую энергию груза, совершающего косинусоидальные колебания

Условие задачи:

Найти кинетическую энергию груза, совершающего косинусоидальные колебания на пружине жесткостью 6000 Н/м, для фазы 30°. Амплитуда колебаний 8 см, масса груза 0,15 кг.

Задача №9.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(k=6000\) Н/м, \(\varphi=30^\circ\), \(A=8\) см, \(m=0,15\) кг, \(E_к-?\)

Решение задачи:

Если груз совершает гармонические колебания на пружине по закону косинуса, то уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде (начальную фазу колебаний \(\varphi_0\) примем равной нулю):

\[x = A\cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Если взять производную от уравнения (1), то получим уравнение скорости:

\[\upsilon = — A\omega \sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(2)\]

Если учесть, что аргумент тригонометрических функций в уравнения (1) и (2) \(\left( {\omega t} \right)\) называется фазой колебаний \(\varphi\), то это уравнение (2) можно записать в более простом виде:

\[\upsilon = — A\omega \sin \varphi \;\;\;\;(3)\]

Кинетическую энергию груза \(E_к\) определим по формуле:

\[{E_к} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Учитывая (3), имеем:

\[{E_к} = \frac{{m{A^2}{\omega ^2}{{\sin }^2}\varphi }}{2}\;\;\;\;(4)\]

Циклическую частоту колебаний \(\omega\) пружинного маятника найдем по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \]

В этой формуле \(k\) — жесткость пружины, \(m\) — масса колеблющегося груза.

В таком случае формула (4) станет такой:

\[{E_к} = \frac{{m{A^2}k{{\sin }^2}\varphi }}{{2m}}\]

\[{E_к} = \frac{{k{A^2}{{\sin }^2}\varphi }}{2}\]

Посчитаем численный ответ задачи: