Решение: Насос захватывает при каждом качании 1 л воздуха при нормальных условиях и нагнетает

Условие задачи:

Насос захватывает при каждом качании 1 л воздуха при нормальных условиях и нагнетает его в автомобильный баллон объемом 0,5 м³ при 290 К. Сколько качаний необходимо, чтобы площадь соприкосновения баллона с дорогой уменьшилась на 100 см², если до этого она была 450 см² и на колесо приходится нагрузка 4,9 кН?

Задача №4.2.77 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_0=1\) л, \(V=0,5\) м³, \(T=290\) К, \(\Delta S=100\) см², \(S=450\) см², \(F=4,9\) кН, \(N-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояния воздуха в автомобильном баллоне, а также для той части воздуха, которая закачивается в баллон при каждом качании насоса.

\[\left\{ \begin{gathered}
pV = \nu RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_1}V = \left( {\nu + N{\nu _0}} \right)RT \;\;\;\;(2)\hfill \\
{p_0}{V_0} = {\nu _0}R{T_0} \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Нормальные условия (для части воздуха, которая закачивается при каждом качании) — это давление \(p_0\), равное 100 кПа, и температура \(T_0\), равная 273 К (0° C).

Из уравнения (2) выразим искомое число качаний насоса \(N\):

\[N = \frac{{\frac{{{p_1}V}}{{RT}} — \nu }}{{{\nu _0}}}\;\;\;\;(4)\]

Начальное количество вещества в баллоне \(\nu\), а также количество вещества \(\nu_0\), которое нагнетается в баллон при каждом качании, выразим из уравнений (1) и (3):

\[\nu = \frac{{pV}}{{RT}}\]

\[{\nu _0} = \frac{{{p_0}{V_0}}}{{R{T_0}}}\]

С учётом этого формула (4) примет вид:

\[N = \frac{{\frac{{{p_1}V}}{{RT}} — \frac{{pV}}{{RT}}}}{{\frac{{{p_0}{V_0}}}{{R{T_0}}}}}\]

\[N = \frac{{{p_1}V{T_0} — pV{T_0}}}{{{p_0}{V_0}T}}\]

\[N = \frac{{V{T_0}\left( {{p_1} — {p_0}} \right)}}{{{p_0}{V_0}T}}\;\;\;\;(5)\]

Чем меньше давление в баллоне, тем больше площадь его соприкосновения с землей, поэтому справедливы следующие равенства:

\[\left\{ \begin{gathered}
p = \frac{F}{S} \hfill \\
{p_1} = \frac{F}{{S — \Delta S}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим эти выражения в формулу (5), тогда:

\[N = \frac{{V{T_0}}}{{{p_0}{V_0}T}}\left( {\frac{F}{{S — \Delta S}} — \frac{F}{S}} \right) = \frac{{V{T_0}}}{{{p_0}{V_0}TS\left( {S — \Delta S} \right)}}\left( {FS — F\left( {S — \Delta S} \right)} \right)\]

\[N = \frac{{V{T_0}F\Delta S}}{{{p_0}{V_0}TS\left( {S — \Delta S} \right)}}\]

Переведём в систему СИ некоторые величины:

\[1\;л = {10^{ — 3}}\;м^3\]

\[100\;см^2 = 0,01\;м^2 \]

\[450\;см^2 = 0,045\;м^2 \]

Посчитаем ответ к задаче:

\[N = \frac{{0,5 \cdot 273 \cdot 4,9 \cdot {{10}^3} \cdot 0,01}}{{100 \cdot {{10}^3} \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 290 \cdot 0,045 \cdot \left( {0,045 — 0,01} \right)}} = 146,4\]

Полученное число необходимо округлить в большую сторону:

\[N = 147\]