Условие задачи:

Однородный куб плавает в воде, на 0,75 своего объема погрузившись в воду. Если тонкой вертикальной нитью прикрепить центр верхней грани куба к плечу рычага длиной 8 см, а на другой конец рычага длиной 4 см повесить гирю массой 30 г, то куб будет погружен в воду на 2/3 своего объема. Найти длину ребра куба.

Задача №3.3.47 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_{п1}=0,75V\), \(l_1=8\) см, \(l_2=4\) см, \(M=30\) г, \(V_{п2}=\frac{2}{3}V\), \(a-?\)

Решение задачи:

В начале куб плавает в воде, запишем условие плавания тел:

\[{F_{А1}} = mg\]

Распишем силу Архимеда и массу по формулам, тогда получим:

\[{\rho _в}g{V_{п1}} = \rho gV\]

Объем куба \(V\) можно найти как произведение длин всех трех ребер, т.е. \(V=a^3\). Учитывая, что \(V_{п1}=0,75V\), имеем:

\[{\rho _в}g \cdot 0,75{a^3} = \rho g{a^3}\]

\[\rho  = 0,75{\rho _в}\]

Далее куб подвешивают к одному плечу рычага, а к другому — подвешивают гирю. Величина силы Архимеда, действующей на куб, изменится, так как изменится объем погруженной части. После этого рычаг будет находиться в равновесии. Запишем правило моментов (второе условие равновесия) относительно оси вращения рычага (точка O):

\[\left( {mg — {F_{А2}}} \right) \cdot {l_1} = Mg \cdot {l_2}\]

\[\left( {\rho Vg — {\rho _в}g{V_{п2}}} \right) \cdot {l_1} = Mg \cdot {l_2}\]

\[\left( {\rho V — \frac{2}{3}{\rho _в}V} \right) \cdot {l_1} = M \cdot {l_2}\]

\[\left( {\rho  — \frac{2}{3}{\rho _в}} \right) \cdot V \cdot {l_1} = M \cdot {l_2}\]

Ранее мы определили, что \(V=a^3\) и \(\rho  = 0,75{\rho _в}\):

\[\left( {0,75{\rho _в} — \frac{2}{3}{\rho _в}} \right) \cdot {a^3} \cdot {l_1} = M \cdot {l_2}\]

Домножим на 12 левую и правую часть равенства:

\[{\rho _в} \cdot {a^3} \cdot {l_1} = 12M \cdot {l_2}\]

\[a = \sqrt[3]{{\frac{{12M{l_2}}}{{{\rho _в}{l_1}}}}}\]

Переведем необходимые величины в систему СИ и посчитаем ответ:

\[8\;см = 0,08\;м\]

\[4\;см = 0,04\;м\]

\[30\;г = 0,03\;кг\]

\[a = \sqrt[3]{{\frac{{12 \cdot 0,03 \cdot 0,04}}{{1000 \cdot 0,08}}}} = 0,0564\;м \approx 56\;мм\]

Ответ: 56 мм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.3.46 В воде плавает льдина с площадью поперечного сечения 5 м2 и высотой 0,5 м. Какую
3.3.48 Однородный пробковый брусок квадратного сечения со стороной 10 см и длиной 40 см
3.3.49 Однородный стержень длиной 1 м и площадью сечения 1 см2 плавает в вертикальном