Решение: Однородный пробковый брусок квадратного сечения со стороной 10 см и длиной 40 см

Условие задачи:

Однородный пробковый брусок квадратного сечения со стороной 10 см и длиной 40 см, плавает в воде вертикально. Какое количество теплоты выделится при переходе бруска в горизонтальное положение?

Задача №3.3.48 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=10\) см, \(l=40\) см, \(Q-?\)

Решение задачи:

Пробковый брусок в начале находится в состоянии неустойчивого равновесия, так как плавает вертикально. При переходе в горизонтальное положение изменится потенциальная энергия бруска, поэтому количество теплоты будем искать по формуле:

\[Q = \Delta E\]

Выберем уровень отсчета потенциальной энергии на уровне поверхности воды, тогда:

\[Q = mg\left( {{H_1} — {H_2}} \right)\]

Массу бруска можно выразить через произведение плотности пробки на его объема, поэтому:

\[Q = \rho {a^2}lg\left( {{H_1} — {H_2}} \right)\;\;\;\;(1)\]

Брусок изначально плавает горизонтально, запишем условие плавания бруска:

\[mg = {F_{А1}}\]

Используя схему, распишем силу Архимеда и массу, тогда:

\[\rho \cdot {a^2}l \cdot g = {\rho _в} \cdot g{a^2}{h_1}\]

\[{h_1} = \frac{\rho }{{{\rho _в}}}l\]

На схеме видно, что величина \(H_1\) равна:

\[{H_1} = \frac{1}{2}l — {h_1} = \frac{1}{2}l — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}l\]

\[{H_1} = \left( {\frac{1}{2} — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}} \right)l\]

Выполним аналогичные действия для того состояния, когда брусок плавает горизонтально.

\[mg = {F_{А2}}\]

\[\rho \cdot {a^2}l \cdot g = {\rho _в} \cdot gal{h_2}\]

\[{h_2} = \frac{\rho }{{{\rho _в}}}a\]

\[{H_2} = \frac{a}{2} — {h_2} = \frac{a}{2} — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}a\]

\[{H_2} = \left( {\frac{1}{2} — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}} \right)a\]

В итоге формула (1) примет вид:

\[Q = \rho {a^2}lg\left( {\left( {\frac{1}{2} — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}} \right)l — \left( {\frac{1}{2} — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}} \right)a} \right)\]

\[Q = \rho {a^2}lg\left( {l — a} \right)\left( {\frac{1}{2} — \frac{\rho }{{{\rho _в}}}} \right)\]

Плотность пробки \(\rho\) равна 200 кг/м³, плотность воды \(\rho_в\) — 1000 кг/м³. Переведем габаритные размеры бруска в систему СИ и посчитаем численный ответ:

\[10\;см = 0,1\;м\]

\[40\;см = 0,4\;м\]

\[Q = 200 \cdot {0,1^2} \cdot 0,4 \cdot 10 \cdot \left( {0,4 — 0,1} \right)\left( {\frac{1}{2} — \frac{{200}}{{1000}}} \right) = 0,72\;Дж = 720\;мДж\]