Решение: Однородный стержень длиной 1 м и площадью сечения 1 см2 плавает в вертикальном

Условие задачи:

Однородный стержень длиной 1 м и площадью сечения 1 см² плавает в вертикальном положении, погружаясь в воду на 80% длины. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы утопить стержень, оставляя его в вертикальном положении?

Задача №3.3.49 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=1\) м, \(S=1\) см², \(h_0 = 0,8l\), \(A-?\)

Решение задачи:

Стержень плавает, запишет условие плавания тел:

\[mg = {F_А}\]

Распишем массу через плотность и полный объем, а силу Архимеда — по известной формуле:

\[\rho Slg = {\rho _в}gS{h_0}\;\;\;\;(1)\]

\[\rho l = {\rho _в}{h_0}\]

Так как \(h_0 = 0,8l\), то:

\[\rho l = 0,8{\rho _в}l \Rightarrow \rho = 0,8{\rho _в}\]

Чтобы утопить стержень, к нему нужно приложить внешнюю силу \(F\). Для того, чтобы работа этой силы оказалось минимальной, стержень необходимо погружать с минимальной скоростью и ускорением. Понятно, что это величина этой силы будет переменной и зависеть от перемещения \(x\), поскольку с увеличением погружения стержня на него будет действовать большая сила Архимеда. Из первого закона следует:

\[F\left( x \right) = {F_А}\left( x \right) — mg\]

\[F\left( x \right) = {\rho _в}gS\left( {{h_0} + x} \right) — \rho Slg\]

Видно, что внешняя сила зависит линейно от перемещения.

При \(x=0\) внешняя сила \(F\) тоже равна нулю (смотрите выражение (1)):

\[F\left( 0 \right) = {\rho _в}gS{h_0} — \rho Slg = 0\]

Когда стержень будет полностью погружен в воду, то есть при \(x = \left( {l — {h_0}} \right)\), величина внешней силы \(F\) определяется выражением:

\[F\left( {l — {h_0}} \right) = {\rho _в}gSl — \rho Slg = \left( {{\rho _в} — \rho } \right)Sgl\]

Так как мы уже знаем, что \(\rho = 0,8{\rho _в}\), то:

\[F\left( {l — {h_0}} \right) = 0,2{\rho _в}Sgl\]

Теперь, если построить график изменения внешней силы от перемещения, то площадь фигуры под графиком равна искомой работе \(A\). Работа \(A\) численно равна площади треугольника, поэтому:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 0,2{\rho _в}Sgl \cdot \left( {l — {h_0}} \right)\]

По условию \(h_0 = 0,8l\), поэтому:

\[A = 0,02{\rho _в}Sg{l^2}\]

Переведем площадь сечения в систему СИ и посчитаем ответ:

\[1\;см^2 = {10^{ — 4}}\;м^2\]

\[A = 0,02 \cdot 1000 \cdot {10^{ — 4}} \cdot 10 \cdot {1^2} = 0,02\;Дж = 20\;мДж\]