Решение: Определить ЭДС аккумулятора, если при нагрузке в 5 А он отдает во внешнюю цепь 10 Вт

Условие задачи:

Определить ЭДС аккумулятора, если при нагрузке в 5 А он отдает во внешнюю цепь 10 Вт, а при сопротивлении внешней цепи 0,25 Ом — 16 Вт.

Задача №7.4.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$I_1=5$ А, $P_1=10$ Вт, $R_2=0,25$ Ом, $P_2=16$ Вт, $\rm E-?$

Решение задачи:

Известно, что мощность, выделяющуюся во внешней цепи, можно определить то такой формуле:

$P = {I^2}R\;\;\;\;(1)$

Воспользуемся этой формулой, чтобы найти сопротивление внешней цепи $R_1$ , при котором течет ток $I_1$ :

${P_1} = I_1^2{R_1} \Rightarrow {R_1} = \frac{{{P_1}}}{{I_1^2}}$

Решать задачу в общем виде не будем, сразу посчитаем значение сопротивления $R_1$ :

${R_1} = \frac{{10}}{{{5^2}}} = 0,4\;Ом$

Продолжим свои рассуждения, запишем закон Ома для полной цепи:

$I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}$

Тогда формула (1) примет такой вид:

$P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}$

Отлично, тогда запишем эту формулу для двух случаев, говорящихся в условии этой задачи:

$\left\{ \begin{gathered} {P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} \hfill \\ {P_2} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Разделим верхнее равенство на нижнее:

$\frac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \frac{{{R_1}{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}{{{R_2}{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}}$

Решим это уравнение с одной неизвестной $r$ , для чего подставим численные значения входящих величин:

$\frac{{10}}{{16}} = \frac{{0,4 \cdot {{\left( {0,25 + r} \right)}^2}}}{{0,25 \cdot {{\left( {0,4 + r} \right)}^2}}}$

Перемножим «крест-накрест»:

$2,5{\left( {0,4 + r} \right)^2} = 6,4{\left( {0,25 + r} \right)^2}$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,4 + 2r + 2,5{r^2} = 0,4 + 3,2r + 6,4{r^2}$

$2r + 2,5{r^2} = 3,2r + 6,4{r^2}$

$3,9{r^2} + 1,2r = 0$

$r\left( {3,9r + 1,2} \right) = 0$

$\left[ \begin{gathered} r = 0 \hfill \\ r = — \frac{{12}}{{39}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Понятно, что внутреннее сопротивление отрицательным быть не может, значит оно все-таки равно нулю. Тогда ЭДС $\rm E$ можно найти по одной из этих формул (мы же воспользуемся первой):

$\left[ \begin{gathered} {\rm E} = {I_1}{R_1} \hfill \\ {\rm E} = \sqrt {{P_2}{R_2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$