Решение: Дифракционная линия для волны 546,1 нм в спектре первого порядка наблюдается под углом

Условие задачи:

Дифракционная линия для волны 546,1 нм в спектре первого порядка наблюдается под углом 19°. Определить наибольший порядок спектра, который может образовать эта дифракционная решетка.

Задача №10.7.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda=546,1\) нм, \(k_1=1\), \(\varphi_1=19^\circ\), \(k_{\max}-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу дифракционной решетки:

\[d\sin \varphi = k\lambda\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(d\) — период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) — угол дифракции, \(k\) — порядок максимума, \(\lambda\) — длина волны, падающей нормально на решетку.

Благодаря тому, что нам известны все параметры первого дифракционного максимума, из формулы (1) мы можем определить неизвестный период решетки:

\[d = \frac{{{k_1}\lambda }}{{\sin {\varphi _1}}}\;\;\;\;(2)\]

Для нахождения максимального порядка дифракционного спектра необходимо воспользоваться следующими соображениями. Угол дифракции не может быть больше 90°, поэтому нужно определить порядок дифракционного максимума для \(\varphi=90^\circ\), то есть \(\sin \varphi = 1\). Для нахождения наибольшего порядка дифракционного спектра, нужно взять целую часть полученного числа. Ни в коем случае не округляйте в большую сторону! В таком случае при подстановке вашего наибольшего порядка в формулу дифракции Вы будете получать синус больше 1, чего быть не должно!

Итак, если \(\sin \varphi = 1\), то:

\[d = k\lambda \]

Откуда:

\[k = \frac{d}{\lambda }\]

Учитывая (2), имеем:

\[k = \frac{{{k_1}\lambda }}{{\sin {\varphi _1} \cdot \lambda }}\]

\[k = \frac{{{k_1}}}{{\sin {\varphi _1}}}\]

Подставим численные данные задачи в эту формулу:

\[k = \frac{1}{{\sin 19^\circ }} = 3,07\]

Взяв целую часть числа, получим \(k_{\max}=3\).