Решение: Два взаимно перпендикулярных луча падают на поверхность воды. Угол падения

Условие задачи:

Два взаимно перпендикулярных луча падают на поверхность воды. Угол падения одного из лучей 30°. Каким станет угол между лучами в воде?

Задача №10.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\gamma_0=90^\circ\), \(\alpha_1=30^\circ\), \(\gamma-?\)

Решение задачи:

Если угол падения одного из лучей к нормали к поверхности воды равен \(\alpha_1\), а угол между лучами равен \(\gamma_0\), то очевидно, что угол падения второго луча \(\alpha_2\) равен:

\[{\alpha _2} = {\gamma _0} – {\alpha _1}\;\;\;\;(1)\]

Из рисунка к задаче видно, что искомый угол между лучами после преломления в воде можно найти по формуле:

\[\gamma = {\beta _1} + {\beta _2}\;\;\;\;(2)\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для обоих лучей:

\[\left\{ \begin{gathered}
{n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\
{n_1}\sin {\alpha _2} = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) – углы падения первого и второго луча, \(\beta_1\) и \(\beta_2\) – углы преломления первого и второго луча, \(n_1\) и \(n_2\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.

Учитывая формулу (1), имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\
{n_1}\sin \left( {{\gamma _0} – {\alpha _1}} \right) = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
\sin {\beta _1} = \frac{{{n_1}\sin {\alpha _1}}}{{{n_2}}} \hfill \\
\sin {\beta _2} = \frac{{{n_1}\sin \left( {{\gamma _0} – {\alpha _1}} \right)}}{{{n_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Значит необходимые нам углы \(\beta_1\) и \(\beta_2\) равны:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\beta _1} = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin {\alpha _1}}}{{{n_2}}}} \right) \hfill \\
{\beta _2} = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin \left( {{\gamma _0} – {\alpha _1}} \right)}}{{{n_2}}}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Окончательно формула (2) примет вид:

\[\gamma = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin {\alpha _1}}}{{{n_2}}}} \right) + \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin \left( {{\gamma _0} – {\alpha _1}} \right)}}{{{n_2}}}} \right)\]

Численный ответ равен:

\[\gamma = \arcsin \left( {\frac{{1 \cdot \sin 30^\circ }}{{1,33}}} \right) + \arcsin \left( {\frac{{1 \cdot \sin \left( {90^\circ – 30^\circ } \right)}}{{1,33}}} \right) = 62,7^\circ \]