Условие задачи:
Какова глубина бассейна, если человек, глядя под углом 30° к поверхности воды, видит монету, лежащую на дне на расстоянии 0,50 м дальше, чем на самом деле?
Задача №10.3.40 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\gamma=30^\circ\), \(L=0,5\) м, \(H-?\)
Решение задачи:
Для решения задачи нужно обязательно сделать рисунок.
Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):
\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\]
Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) – угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.
Так как \(\alpha = 90^\circ – \gamma\) и \(\sin \left( {90^\circ – \gamma } \right) = \cos \gamma\), то имеем:
\[{n_1}\sin \left( {90^\circ – \gamma } \right) = {n_2}\sin \beta \]
\[{n_1}\cos \gamma = {n_2}\sin \beta\;\;\;\;(1)\]
Из рисунка видно, что синус угла \(\beta\) равен:
\[\sin \beta = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {H^2}} }}\]
В таком случае формула (1) примет вид:
\[{n_1}\cos \gamma = \frac{{{n_2}x}}{{\sqrt {{x^2} + {H^2}} }}\]
Возведем в квадрат обе части этого уравнения:
\[n_1^2{\cos ^2}\gamma = \frac{{n_2^2{x^2}}}{{{x^2} + {H^2}}}\]
Тогда:
\[n_1^2{\cos ^2}\gamma \left( {{x^2} + {H^2}} \right) = n_2^2{x^2}\]
Раскроем скобки:
\[n_1^2{x^2}{\cos ^2}\gamma + n_1^2{H^2}{\cos ^2}\gamma = n_2^2{x^2}\]
Часть слагаемых перенесем в правую часть уравнения:
\[n_1^2{H^2}{\cos ^2}\gamma = n_2^2{x^2} – n_1^2{x^2}{\cos ^2}\gamma \]
Вынесем за скобки \(x^2\):
\[n_1^2{H^2}{\cos ^2}\gamma = {x^2}\left( {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } \right)\]
Выразим \(x^2\):
\[{x^2} = \frac{{n_1^2{H^2}{{\cos }^2}\gamma }}{{n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma }}\]
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\[x = \frac{{{n_1}H\cos \gamma }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }}\;\;\;\;(2)\]
Также из рисунка видно, что:
\[tg\gamma = \frac{H}{{x + L}}\]
Тогда имеем следующее:
\[\left( {x + L} \right)tg\gamma = H\]
\[xtg\gamma + Ltg\gamma = H\]
Учитывая (2), имеем:
\[\frac{{{n_1}H\cos \gamma }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }}tg\gamma + Ltg\gamma = H\]
Поскольку \(\sin \gamma = \cos \gamma \cdot tg\gamma\), то:
\[\frac{{{n_1}H\sin \gamma }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }} + Ltg\gamma = H\]
Все слагаемые с множителем \(H\) перенесем в одну сторону:
\[Ltg\gamma = H – \frac{{{n_1}H\sin \gamma }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }}\]
\[Ltg\gamma = H\left( {1 – \frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }}} \right)\]
Приведем под общий знаменатель в скобках:
\[Ltg\gamma = H\left( {\frac{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } – {n_1}\sin \gamma }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }}} \right)\]
\[H = \frac{{Ltg\gamma \sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } }}{{\sqrt {n_2^2 – n_1^2{{\cos }^2}\gamma } – {n_1}\sin \gamma }}\]
Задача решена в общем, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:
\[H = \frac{{0,5 \cdot tg30^\circ \cdot \sqrt {{{1,33}^2} – {1^2} \cdot {{\cos }^2}30^\circ } }}{{\sqrt {{{1,33}^2} – {1^2} \cdot {{\cos }^2}30^\circ } – 1 \cdot \sin 30^\circ }} = 0,572\;м\]
Ответ: 0,572 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.3.39 Луч света входит в стеклянную призму под углом ?/6 и выходит из призмы в воздух
10.3.41 Какова истинная глубина водоема, если камень, лежащий на дне его, при рассматривании
10.3.42 Кажущаяся глубина водоема h=4 м. Определить истинную глубину h0 водоема, если
![](/mark_r_img.png)