Условие задачи:
Кубический сосуд с непрозрачными стенками расположен так, что глаз наблюдателя не видит его дна, но полностью видит заднюю вертикальную стенку. Сколько воды нужно налить в сосуд, чтобы наблюдатель смог увидеть предмет, находящийся на расстоянии 10 см от задней стенки сосуда на его дне? Ребро сосуда 40 см.
Задача №10.3.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(l=10\) см, \(a=40\) см, \(V-?\)
Решение задачи:
Разумеется, сначала нужно сделать рисунки к задаче. Рассмотрим рисунок слева, он поможет нам найти угол падения луча \(\alpha\). Так как сосуд имеет форму куба, то синус угла \(\alpha\) можно найти следующим образом:
\[\sin \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }}\]
\[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\;(1)\]
Теперь займемся правым рисунком. Из равенства (1) следует, что угол \(\alpha\) равен 45°, и это очень важный вывод. Значит в прямоугольном треугольнике, образованном лучом, стенкой сосуда и поверхностью воды, оба катета равны \(\left( {a – h} \right)\) (смотрите рисунок справа).
Для ситуации на рисунке справа запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):
\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\;\;\;\;(2)\]
Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) – угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.
Попытаемся найти синус угла \(\beta\), для чего найдем противолежащий катет \(x\) в соответствующем прямоугольном треугольнике.
\[x = a – l – \left( {a – h} \right)\]
\[x = h – l\]
Сделаем важную оговорку: так как \(x\) не может быть меньше нуля, то \({h} > {l}\), это пригодится нам в дальнейшем решении.
Тогда синус угла \(\beta\) найдем по формуле (гипотенузу в том же прямоугольном треугольнике найдем по теореме Пифагора):
\[\sin \beta = \frac{{h – l}}{{\sqrt {{{\left( {h – l} \right)}^2} + {h^2}} }}\;\;\;\;(3)\]
Подставим в уравнение (2) выражения (1) и (3):
\[\frac{{\sqrt 2 {n_1}}}{2} = \frac{{{n_2}\left( {h – l} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {h – l} \right)}^2} + {h^2}} }}\]
Как Вы должны понимать, физика в этой задаче закончилась, осталась только математика – нужно решить данное уравнение. Перепишем его в следующем виде:
\[\frac{{\sqrt 2 {n_1}}}{{2{n_2}}} = \frac{{h – l}}{{\sqrt {{{\left( {h – l} \right)}^2} + {h^2}} }}\]
Возведем в квадрат обе части этого уравнения:
\[\frac{{n_1^2}}{{2n_2^2}} = \frac{{{{\left( {h – l} \right)}^2}}}{{{{\left( {h – l} \right)}^2} + {h^2}}}\]
Перемножим “крест-накрест”:
\[n_1^2{\left( {h – l} \right)^2} + n_1^2{h^2} = 2n_2^2{\left( {h – l} \right)^2}\]
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
\[n_1^2{h^2} – 2n_1^2hl + n_1^2{l^2} + n_1^2{h^2} = 2n_2^2{h^2} – 4n_2^2hl + 2n_2^2{l^2}\]
Перенесем все в правую часть и сгруппируем:
\[\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right){h^2} – \left( {4n_2^2 – 2n_1^2} \right)hl + \left( {2n_2^2 – n_1^2} \right){l^2} = 0\]
Поделим все на \(l^2\):
\[\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right){\left( {\frac{h}{l}} \right)^2} – \left( {4n_2^2 – 2n_1^2} \right)\left( {\frac{h}{l}} \right) + \left( {2n_2^2 – n_1^2} \right) = 0\]
Решим данное квадратное уравнение относительно \(\frac{h}{l}\), для чего перейдем к нахождению дискриминанта:
\[D = {\left( {4n_2^2 – 2n_1^2} \right)^2} – 4\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right)\left( {2n_2^2 – n_1^2} \right)\]
Раскрываем скобки:
\[D = 16n_2^4 – 16n_1^2n_2^2 + 4n_1^4 – 16n_2^4 + 8n_1^2n_2^2 + 16n_1^2n_2^2 – 8n_1^4\]
\[D = 8n_1^2n_2^2 – 4n_1^4\]
\[D = 4n_1^2\left( {2n_2^2 – n_1^2} \right)\]
Учитывая численные значения показателей преломления, нетрудно сделать вывод, что дискриминант – положительный. Тогда корни уравнения следующие:
\[\frac{h}{l} = \frac{{4n_2^2 – 2n_1^2 \pm \sqrt {4n_1^2\left( {2n_2^2 – n_1^2} \right)} }}{{2\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right)}}\]
\[\frac{h}{l} = \frac{{4n_2^2 – 2n_1^2 \pm 2{n_1}\sqrt {2n_2^2 – n_1^2} }}{{2\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right)}}\]
Посчитаем численное значение корней:
\[\left[ \begin{gathered}
\frac{h}{l} = \frac{{4 \cdot {{1,33}^2} – 2 \cdot {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt {2 \cdot {{1,33}^2} – {1^2}} }}{{2\left( {2 \cdot {{1,33}^2} – 2 \cdot {1^2}} \right)}} = 2,686 \hfill \\
\frac{h}{l} = \frac{{4 \cdot {{1,33}^2} – 2 \cdot {1^2} – 2 \cdot 1 \cdot \sqrt {2 \cdot {{1,33}^2} – {1^2}} }}{{2\left( {2 \cdot {{1,33}^2} – 2 \cdot {1^2}} \right)}} = 0,614 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Как Вы видите, второй корень не удовлетворяют условию \({h} > {l}\). Значит уровень воды \(h\) равен:
\[h = \left( {\frac{{4n_2^2 – 2n_1^2 + 2{n_1}\sqrt {2n_2^2 – n_1^2} }}{{2\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right)}}} \right)l\]
Искомый объем воды легко найти по формуле:
\[V = {a^2}h\]
Окончательно получим:
\[V = \left( {\frac{{4n_2^2 – 2n_1^2 + 2{n_1}\sqrt {2n_2^2 – n_1^2} }}{{2\left( {2n_2^2 – 2n_1^2} \right)}}} \right){a^2}l\]
\[V = \left( {\frac{{4 \cdot {{1,33}^2} – 2 \cdot {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt {2 \cdot {{1,33}^2} – {1^2}} }}{{2\left( {2 \cdot {{1,33}^2} – 2 \cdot {1^2}} \right)}}} \right) \cdot {0,4^2} \cdot 0,1 = 0,043\;м^3 = 43\;л\]
Ответ: 43 л.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.3.25 Высота солнца над горизонтом 60°. Высота непрозрачного сосуда 25 см. На сколько
10.3.27 На поверхности водоема глубиной 5,3 м плавает круг радиусом 1 м, над центром которого
10.3.28 Луч света падает на стеклянную пластинку толщиной 3 см под углом 60°. Определить
![](/mark_r_img.png)