Условие задачи:
На каком расстоянии от линзы с оптической силой 5 дптр необходимо поставить предмет, чтобы его изображение было вдвое больше самого предмета?
Задача №10.5.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(D=5\) дптр, \(\Gamma = 2\), \(d-?\)
Решение задачи:
Определенно ясно, что мы имеем дело с собирающей линзой, поскольку линза с положительной оптической силой является собирающей линзой. Но совершенно непонятно где находится предмет (и какого рода мы получаем изображение – действительное или мнимое), поэтому рассмотрим два случая (см. рисунок).
Случай первый – \({d} > {F}\) (но при этом \({d} < {2F}\), так как в противном случае мы не получим увеличенного изображения). Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).
Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(D\) – оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A1OB1):
\[\Gamma = \frac{f}{d}\]
Тогда:
\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (2) в формулу (1):
\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{{\Gamma d}}\]
\[D = \frac{{\Gamma + 1}}{{\Gamma d}}\]
Откуда получим такую окончательную формулу:
\[d = \frac{{\Gamma + 1}}{{D\Gamma }}\]
Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):
\[d = \frac{{2 + 1}}{{5 \cdot 2}} = 0,3\;м\]
Случай второй – \({d} < {F}\). Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в этом случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).
Запишем формулу тонкой линзы для данного случая:
\[D = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(3)\]
В этой формуле \(D\) – оптическая сила линзы, знак перед ней “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Аналогично, поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A1OB1):
\[\Gamma = \frac{f}{d}\]
Тогда:
\[f = \Gamma d\;\;\;\;(4)\]
Подставим выражение (4) в формулу (3):
\[D = \frac{1}{d} – \frac{1}{{\Gamma d}}\]
Приведем под общий знаменатель в правой части полученного уравнения:
\[D = \frac{{\Gamma – 1}}{{\Gamma d}}\]
Тогда:
\[d = \frac{{\Gamma – 1}}{{D\Gamma }}\]
Численный ответ в этом случае равен:
\[d = \frac{{2 – 1}}{{5 \cdot 2}} = 0,1\;м\]
Ответ: 0,3 м или 0,1 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.14 Предмет находится на расстоянии 4F от собирающей линзы. Найдите коэффициент увеличения
10.5.16 Фокусное расстояние собирающей линзы 0,2 м. На каком расстоянии от линзы следует
10.5.17 Когда предмет поместили на расстоянии 20 см от линзы, изображение получилось
![](/mark_r_img.png)