Решение: На каком расстоянии от выпуклой линзы с фокусным расстоянием 32 см следует поместить

Условие задачи:

На каком расстоянии от выпуклой линзы с фокусным расстоянием 32 см следует поместить предмет, чтобы получить действительное изображение, увеличенное в 4 раза?

Задача №10.5.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(F=32\) см, \(\Gamma=4\), \(d-?\)

Решение задачи:

Выпуклая линза в воздухе является собирающей линзой. Собирающая линза дает действительное изображение предмета, если предмета расположен левее переднего фокуса линзы, то есть \({d} > {F}\).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{\Gamma d}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma + 1}}{{\Gamma d}}\]

Перемножим “крест-накрест”, тогда:

\[F\left( {\Gamma + 1} \right) = \Gamma d\]

Откуда получим такую окончательную формулу:

\[d = \frac{{F\left( {\Gamma + 1} \right)}}{\Gamma }\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):