Решение: На расстоянии 25 см от двояковыпуклой линзы, оптическая сила которой 5 дптр

Условие задачи:

На расстоянии 25 см от двояковыпуклой линзы, оптическая сила которой 5 дптр, расположен предмет высотой 2 см. Найти высоту изображения.

Задача №10.5.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=25\) см, \(D=5\) дптр, \(h=2\) см, \(H-?\)

Решение задачи:

Двояковыпуклая линза в воздухе является собирающей линзой. Для построения изображения предмета необходимо вычислить фокусное расстояние линзы \(F\) по формуле:

\[F = \frac{1}{D}\]

\[F = \frac{1}{5} = 0,2\;м = 20\;см\]

Теперь мы знаем как расположен предмет относительно переднего фокуса линзы (\({d} > {F}\)).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(D\) – оптическая сила линзы, она положительная, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению линзы \(\Gamma\)):

\[\frac{H}{h} = \frac{f}{d}\]

Тогда искомую высоту изображения будем искать по формуле:

\[H = f\frac{h}{d}\;\;\;\;(2)\]

Тогда из формулы (1) нам нужно выразить расстояние от линзы до изображения \(f\):

\[\frac{1}{f} = D – \frac{1}{d}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{{Dd – 1}}{d}\]

\[f = \frac{d}{{Dd – 1}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение (3) в формулу (2):

\[H = \frac{d}{{Dd – 1}} \cdot \frac{h}{d}\]

\[H = \frac{h}{{Dd – 1}}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):