Условие задачи:
Определить наименьшее возможное расстояние между светящимся предметом и его действительным изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием 30 см.
Задача №10.5.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(F=30\) см, \(z_{\min}-?\)
Решение задачи:
Понятно, что предмет находится левее переднего фокуса линзы, то есть \({d} > {F}\).
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) \(z\) можно выразить следующим образом:
\[z = d + f\]
Имеем:
\[f = z – d\;\;\;\;(2)\]
Тогда уравнение (1) с учетом выражения (2) примет вид:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z – d}}\]
Приведем правую часть уравнения под общий знаменатель:
\[\frac{1}{F} = \frac{{z – d + d}}{{d\left( {z – d} \right)}}\]
\[\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z – d} \right)}}\]
Перемножим “крест-накрест”, раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:
\[zF = d\left( {z – d} \right)\]
\[zF = dz – {d^2}\]
\[{d^2} – zd + zF = 0\]
Чтобы полученное квадратное уравнение относительно \(d\) имело хоть какой-нибудь корень, его дискриминант \(D_{диск}\) должен быть больше или равен нулю:
\[{D_{диск}} = {z^2} – 4zF\]
\[{z^2} – 4zF \geq 0\]
\[z\left( {z – 4F} \right) \geq 0\]
При решении мы получим следующую совокупность:
\[\left[ \begin{gathered}
z \leq 0 \hfill \\
z \geq 4F \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Понятно, что расстояние между предметом и линзой не может быть отрицательным, поэтому искомое минимальное расстояние между предметом и линзой \(z_{\min}\) равно:
\[{z_{\min }} = 4F\]
Посчитаем численный ответ задачи:
\[{z_{\min }} = 4 \cdot 0,3 = 1,2\;м\]
Ответ: 1,2 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.27 Расстояние между лампой и экраном 3,2 м. Фокусное расстояние линзы 0,6 м.
10.5.29 Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где нужно поместить между ними линзу
10.5.30 Светящийся предмет находится на расстоянии 420 см от экрана. На каком расстоянии
![](/mark_r_img.png)