Решение: Определить угол преломления луча, если при переходе из воздуха в этиловый спирт

Условие задачи:

Определить угол преломления луча, если при переходе из воздуха в этиловый спирт угол между отраженным и преломленным лучами равен 120°.

Задача №10.3.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\gamma = 120^\circ\), \(\beta-?\)

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) – угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления этилового спирта (этанола) \(n_2\) равен 1,36.

По условию задачи угол между отраженным и преломленным лучами равен \(\gamma\), поэтому понятно, что:

\[\alpha + \beta = 180^\circ – \gamma \]

То есть:

\[\alpha = \left( {180^\circ – \gamma } \right) – \beta \]

Тогда формула (1) примет следующий вид:

\[{n_1}\sin \left( {\left( {180^\circ – \gamma } \right) – \beta } \right) = {n_2}\sin \beta \]

Раскроем синус разности в левой части этого уравнения:

\[{n_1}\sin \left( {180^\circ – \gamma } \right)\cos \beta – {n_1}\sin \beta \cos \left( {180^\circ – \gamma } \right) = {n_2}\sin \beta \]

Перенесем все в левую часть:

\[{n_1}\sin \left( {180^\circ – \gamma } \right)\cos \beta – {n_1}\sin \beta \cos \left( {180^\circ – \gamma } \right) – {n_2}\sin \beta = 0\]

Так как \(\sin \left( {180^\circ – \gamma } \right) = \sin \gamma\) и \(\cos \left( {180^\circ – \gamma } \right) = – \cos \gamma\), то:

\[{n_1}\sin \gamma \cos \beta + {n_1}\sin \beta \cos \gamma – {n_2}\sin \beta = 0\]

Сгруппируем:

\[\left( {{n_1}\cos \gamma – {n_2}} \right)\sin \beta + {n_1}\sin \gamma \cos \beta = 0\]

Выражения вида \(A\sin x + B\cos x\) приводятся к виду \(C\sin \left( {x + t} \right)\), где \(C = \sqrt {{A^2} + {B^2}}\) и \(t = arctg\frac{B}{A}\). Поэтому:

\[\sqrt {{{\left( {{n_1}\cos \gamma – {n_2}} \right)}^2} + {{\left( {{n_1}\sin \gamma } \right)}^2}} \sin \left( {\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}}} \right) = 0\]

Так как множитель перед синусом точно не равен нулю, имеем:

\[\sin \left( {\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}}} \right) = 0\]

Синус равен нулю, когда его аргумент равен нулю:

\[\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}} = 0\]

\[\beta = – arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}}\]

Так как арктангенс – нечетная функция, то минус можно внести в знаменатель аргумента. Окончательно получим:

\[\beta = arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_2} – {n_1}\cos \gamma }}\]

Посчитаем численный ответ:

\[\beta = arctg\frac{{1 \cdot \sin 120^\circ }}{{1,36 – 1 \cdot \cos 120^\circ }} = 25^\circ \]