Условие задачи:
Определить угол преломления луча, если при переходе из воздуха в этиловый спирт угол между отраженным и преломленным лучами равен 120°.
Задача №10.3.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\gamma = 120^\circ\), \(\beta-?\)
Решение задачи:
Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):
\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\;\;\;\;(1)\]
Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) – угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления этилового спирта (этанола) \(n_2\) равен 1,36.
По условию задачи угол между отраженным и преломленным лучами равен \(\gamma\), поэтому понятно, что:
\[\alpha + \beta = 180^\circ – \gamma \]
То есть:
\[\alpha = \left( {180^\circ – \gamma } \right) – \beta \]
Тогда формула (1) примет следующий вид:
\[{n_1}\sin \left( {\left( {180^\circ – \gamma } \right) – \beta } \right) = {n_2}\sin \beta \]
Раскроем синус разности в левой части этого уравнения:
\[{n_1}\sin \left( {180^\circ – \gamma } \right)\cos \beta – {n_1}\sin \beta \cos \left( {180^\circ – \gamma } \right) = {n_2}\sin \beta \]
Перенесем все в левую часть:
\[{n_1}\sin \left( {180^\circ – \gamma } \right)\cos \beta – {n_1}\sin \beta \cos \left( {180^\circ – \gamma } \right) – {n_2}\sin \beta = 0\]
Так как \(\sin \left( {180^\circ – \gamma } \right) = \sin \gamma\) и \(\cos \left( {180^\circ – \gamma } \right) = – \cos \gamma\), то:
\[{n_1}\sin \gamma \cos \beta + {n_1}\sin \beta \cos \gamma – {n_2}\sin \beta = 0\]
Сгруппируем:
\[\left( {{n_1}\cos \gamma – {n_2}} \right)\sin \beta + {n_1}\sin \gamma \cos \beta = 0\]
Выражения вида \(A\sin x + B\cos x\) приводятся к виду \(C\sin \left( {x + t} \right)\), где \(C = \sqrt {{A^2} + {B^2}}\) и \(t = arctg\frac{B}{A}\). Поэтому:
\[\sqrt {{{\left( {{n_1}\cos \gamma – {n_2}} \right)}^2} + {{\left( {{n_1}\sin \gamma } \right)}^2}} \sin \left( {\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}}} \right) = 0\]
Так как множитель перед синусом точно не равен нулю, имеем:
\[\sin \left( {\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}}} \right) = 0\]
Синус равен нулю, когда его аргумент равен нулю:
\[\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}} = 0\]
\[\beta = – arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma – {n_2}}}\]
Так как арктангенс – нечетная функция, то минус можно внести в знаменатель аргумента. Окончательно получим:
\[\beta = arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_2} – {n_1}\cos \gamma }}\]
Посчитаем численный ответ:
\[\beta = arctg\frac{{1 \cdot \sin 120^\circ }}{{1,36 – 1 \cdot \cos 120^\circ }} = 25^\circ \]
Ответ: 25°.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.3.21 Луч падает на границу раздела сред под углом 30°. Показатель преломления первой
10.3.23 В дно пруда вертикально вбита свая так, что она целиком находится под водой. Определите
10.3.24 В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, выступающая из воды на 0,5 м. Найти длину тени
![](/mark_r_img.png)