Решение: Постоянная дифракционной решетки в 3,7 раза больше длины световой волны, нормально

Условие задачи:

Постоянная дифракционной решетки в 3,7 раза больше длины световой волны, нормально падающей на решетку. Определить число дифракционных максимумов, которые теоретически можно наблюдать в спектре такой решетки.

Задача №10.7.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=3,7\lambda\), \(n-?\)

Решение задачи:

Количество дифракционных максимумов можно определить по формуле:

\[n = 2{k_{\max }} + 1\;\;\;\;(1)\]

Формула очевидна, поскольку всегда имеется центральный максимум \(k=0\) и некоторое количество максимумов, симметричных относительно центрального.

Запишем формулу дифракционной решетки:

\[d\sin \varphi = k\lambda\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(d\) – период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) – угол дифракции, \(k\) – порядок максимума, \(\lambda\) – длина волны, падающей нормально на решетку.

Для нахождения максимального порядка дифракционного спектра необходимо воспользоваться следующими соображениями. Угол дифракции не может быть больше 90°, поэтому нужно определить порядок дифракционного максимума для \(\varphi=90^\circ\), то есть \(\sin \varphi = 1\). Для нахождения наибольшего порядка дифракционного спектра, нужно взять целую часть полученного числа. Ни в коем случае не округляйте в большую сторону! В таком случае при подстановке вашего наибольшего порядка в формулу дифракции Вы будете получать синус больше 1, чего быть не должно!

Итак, если \(\sin \varphi = 1\), то:

\[d = k\lambda \]

Откуда:

\[k = \frac{d}{\lambda }\]

Так как по условию задачи постоянная дифракционной решетки в 3,7 раза больше длины световой волны, то есть \(d=3,7\lambda\), то:

\[k = \frac{{3,7\lambda }}{\lambda } = 3,7\]

Взяв целую часть числа, получим \(k_{\max}=3\).

В итоге искомое число дифракционных максимумов \(n\) равно:

\[n = 2 \cdot 3 + 1 = 7\]