Условие задачи:
Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой собирающей линзой, расположены симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы 4 см. Вычислите фокусное расстояние линзы.
Задача №10.5.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(a=4\) см, \(F-?\)
Решение задачи:
В условии дана подсказка для решения задачи – линза собирающая и даёт прямое изображение, то есть \({d} < {F}\). Вообще, предмет и его изображение могут быть симметричны относительно фокуса линзы только при выполнении этого условию.
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ней “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Из рисунка хорошо видно, что:
\[\left\{ \begin{gathered}
d = F – a \hfill \\
f = F + a \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
В таком случае уравнение (1) примет вид:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{{F – a}} – \frac{1}{{F + a}}\]
Приведем в правой части полученного уравнения под общий знаменатель:
\[\frac{1}{F} = \frac{{F + a – F + a}}{{\left( {F – a} \right)\left( {F + a} \right)}}\]
Тогда:
\[\frac{1}{F} = \frac{{2a}}{{{F^2} – {a^2}}}\]
Перемножим “крест-накрест”:
\[{F^2} – {a^2} = 2aF\]
\[{F^2} – 2aF – {a^2} = 0\]
Мы получили квадратное уравнение, посчитаем его дискриминант:
\[{D_{диск}} = 4{a^2} + 4{a^2} = 8{a^2}\]
Тогда:
\[F = \frac{{2a \pm \sqrt {8{a^2}} }}{2}\]
\[F = a \pm \sqrt 2 a\]
\[F = a\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\]
Понятно, что фокусное расстояние не может быть отрицательным, поэтому отбрасываем корень с “минусом”:
\[F = a\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\]
Численный ответ этой задачи равен (не забываем переводить численные значения в систему СИ):
\[F = 0,04 \cdot \left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0,0966\;м = 9,66\;см\]
Ответ: 9,66 см.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.19 Каково главное фокусное расстояние линзы, если для получения изображения
10.5.21 Расстояние от предмета до экрана 5 м. Какой оптической силы надо взять линзу
10.5.22 Линза дает действительное изображение предмета с увеличением 3. Какое увеличение
![](/mark_r_img.png)